Expresse o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares, e então calcule.
O sólido dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 e fora do cilindro x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O sólido é dado por \;x^2+y^2+z^2\le9 (dentro da esfera de raio 3)
e \;x^2+y^2\ge1 (fora do cilindro de raio 1).
Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), em que x^2+y^2=r^2.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o volume é
V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=1}^{3} \int_{z=-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}} r \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}}dz = 2\sqrt{9-r^2},
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V = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{1}^{3}2\sqrt{9-r^2}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Separamos as integrais em \theta e em r:
V = 2\Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{1}^{3}r\sqrt{9-r^2}\,dr\Bigr) =4\pi\int_{1}^{3}r\sqrt{9-r^2}\,dr.
Para calcular \displaystyle\int_{1}^{3}r\sqrt{9-r^2}\,dr use u=9-r^2, du=-2r\,dr. Isso leva a
\int_{1}^{3}r\sqrt{9-r^2}\,dr =\frac{16\sqrt2}{3}.

Passo 5

Substituindo de volta,
V =4\pi\cdot\frac{16\sqrt2}{3} =\frac{64\pi\sqrt2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{64\pi\sqrt2}{3}

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