Expresse o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares, e então calcule.
O sólido dentro da esfera
e fora do cilindro
.
O sólido dentro da esfera
Passo 1
O sólido é dado por
(dentro da esfera de raio 3)
e (fora do cilindro de raio 1).
Vamos usar coordenadas cilíndricas , em que
.
e
Vamos usar coordenadas cilíndricas
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas o volume é
Passo 3
Integramos primeiro em
:
logo
Passo 4
Separamos as integrais em
e em
:
Para calcular
use
,
. Isso leva a
Passo 5
Substituindo de volta,