Expresse o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares, e então calcule.
O sólido dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 e fora do cilindro x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está dentro da esfera
\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\;
e fora do cilindro
\;x^{2}+y^{2}=1\;.
Para resolver, vamos usar coordenadas cilíndricas (que usam coordenadas polares no plano xy mais a coordenada z) e montar um integral triplo, reduzindo em seguida a um integral duplo.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
\;x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
A projeção no plano xy é a região entre o cilindro r=1 e a projeção da esfera r^{2}+z^{2}=9, ou seja
\;1\le r\le 3,\quad 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 3

Escrevendo o volume como integral triplo temos
V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=1}^{3} \int_{z=-\sqrt{9-r^{2}}}^{\sqrt{9-r^{2}}} r \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro, integramos em z:
\int_{-\sqrt{9-r^{2}}}^{\sqrt{9-r^{2}}} r\,dz = 2\,r\,\sqrt{9-r^{2}}.
Substituindo, o volume vira
V = \int_{0}^{2\pi} \!d\theta\;\int_{1}^{3} 2\,r\,\sqrt{9-r^{2}}\,dr = 2\pi \,\int_{1}^{3} 2\,r\,\sqrt{9-r^{2}}\,dr =4\pi\int_{1}^{3}r\sqrt{9-r^{2}}\,dr.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int_{1}^{3}r\sqrt{9-r^{2}}\,dr,
fazemos a substituição
u=9-r^{2}, \quad du=-2r\,dr \;\Longrightarrow\; r\,dr=-\tfrac12\,du.
Quando r=1, u=8; quando r=3, u=0. Logo
\int_{1}^{3}r\sqrt{9-r^{2}}\,dr = \int_{u=8}^{0}\sqrt{u}\,\bigl(-\tfrac12\,du\bigr) = \tfrac12\int_{0}^{8}u^{1/2}\,du = \tfrac12\cdot\tfrac{2}{3}\,u^{3/2}\Big|_{0}^{8} = \frac{16\sqrt{2}}{3}.

Passo 6

Substituindo esse resultado em V, obtemos
V = 4\pi \;\times\;\frac{16\sqrt{2}}{3} = \frac{64\sqrt{2}\,\pi}{3}.

Resposta

\boxed{V = \frac{64\sqrt{2}\,\pi}{3}}.

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