Monte a integral necessária para calcular o volume do sólido dado. Não é preciso calcular a integral.
O sólido limitado acima pelo parabolóide z=x^{2}+y^{2}, lateralmente pelo cilindro circular x^{2}+ (y-1)^{2}=1 e abaixo pelo plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide
z = x^{2} + y^{2},
lateralmente pelo cilindro
x^{2} + (y - 1)^{2} = 1
e abaixo pelo plano xy-plano (isto é, z=0). Vamos usar integração dupla projetando o sólido no plano xy.

Passo 2

Em geral, o volume de um sólido entre as superfícies z = z_{\text{top}}(x,y) e z=z_{\text{bot}}(x,y) sobre a região D no plano xy é
V = \iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui temos z_{\text{top}}(x,y)=x^{2}+y^{2} e z_{\text{bot}}(x,y)=0, logo
V = \iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA,
onde D é o disco dado por
x^{2} + (y-1)^{2}\le 1.

Passo 3

Para descrever D de forma simples, passamos a coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com o jacobiano dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Na fronteira do cilindro temos
x^{2} + (y-1)^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta + (r\sin\theta-1)^{2} = r^{2} - 2r\sin\theta + 1 = 1 \;\Longrightarrow\; r = 2\sin\theta.
Como \sin\theta\ge0, isso vale para \theta\in[0,\pi]. Portanto
D = \{(r,\theta)\mid 0\le r\le 2\sin\theta,\;0\le\theta\le\pi\}.

Passo 5

Substituindo na integral de volume, com x^{2}+y^{2}=r^{2}, obtemos
V = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2\sin\theta} \bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin\theta}r^{3}\,dr\,d\theta.

Resposta

V = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin\theta}r^{3}\,dr\,d\theta.

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