Monte a integral necessária para calcular o volume do sólido dado. Não é preciso calcular a integral.
O sólido limitado acima pelo parabolóide
, lateralmente pelo cilindro circular
e abaixo pelo plano
.
O sólido limitado acima pelo parabolóide
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide
lateralmente pelo cilindro
e abaixo pelo plano
-plano (isto é,
). Vamos usar integração dupla projetando o sólido no plano
.
Passo 2
Em geral, o volume de um sólido entre as superfícies
e
sobre a região
no plano
é
Aqui temos
e
, logo
onde
é o disco dado por
Passo 3
Para descrever
de forma simples, passamos a coordenadas polares:
com o jacobiano
.
Passo 4
Na fronteira do cilindro temos
Como
, isso vale para
. Portanto
Passo 5
Substituindo na integral de volume, com
, obtemos