Exprima cada um dos números complexos na forma polar:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expressar o número complexo na forma polar. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, especificamente a forma polar e o Teorema de De Moivre. Vamos precisar saber como encontrar o módulo e o argumento de um número complexo e como aplicar o teorema para elevar um número complexo a uma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é forma polar. Um número complexo pode ser escrito como , onde é a parte real e é a parte imaginária. A forma polar de é , onde:
é o módulo de , dado por .
é o argumento de , que é o ângulo formado com o eixo real positivo.
Passo 3
Vamos identificar as partes real e imaginária do número complexo dado:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo usando a fórmula :
Então, o módulo é r = e.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o argumento theta. Sabemos que:
tan theta = ba = -e raiz32-e2 = raiz3
Isso nos dá theta = pi3. Porém, como tanto a quanto b são negativos, o número complexo está no terceiro quadrante. Portanto, precisamos adicionar pi ao ângulo:
theta = pi3 + pi = 4pi3
Passo 6
Com isso, podemos escrever o número complexo na forma polar:
z = e ( cos 4pi3 + i sin 4pi3 )
Passo 7
Agora, queremos elevar z à 100ª potência. Para isso, usamos o Teorema de De Moivre, que diz que:
z^n = r^n ( cos(ntheta) + i sin(ntheta) )
Aplicando isso ao nosso caso:
z^100 = e^100 ( cos (100 times 4pi3) + i sin (100 times 4pi3) )
Passo 8
Vamos simplificar o ângulo:
100 times 4pi3 = 400pi3 = 133pi + pi3
Como cos e sin são funções periódicas com período 2pi, podemos simplificar: