Exprima cada um dos números complexos na forma polar:
(-e2-e raiz32 i)^100

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expressar o número complexo (-e2 - e raiz32 i)^100 na forma polar. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, especificamente a forma polar e o Teorema de De Moivre. Vamos precisar saber como encontrar o módulo e o argumento de um número complexo e como aplicar o teorema para elevar um número complexo a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é forma polar. Um número complexo pode ser escrito como z = a + b i, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. A forma polar de z é z = r (cos theta + i sin theta), onde:
  • r é o módulo de z, dado por r = raiza^2 + b^2.
  • theta é o argumento de z, que é o ângulo formado com o eixo real positivo.

Passo 3

Vamos identificar as partes real e imaginária do número complexo dado:
a = -e2, b = -e raiz32

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo r usando a fórmula r = raiza^2 + b^2:
r = raiz(-e2)^2 + (-e raiz32)^2 = raize^24 + 3 e^24 = raiz4 e^24 = raize^2 = e
Então, o módulo é r = e.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o argumento theta. Sabemos que:
tan theta = ba = -e raiz32-e2 = raiz3
Isso nos dá theta = pi3. Porém, como tanto a quanto b são negativos, o número complexo está no terceiro quadrante. Portanto, precisamos adicionar pi ao ângulo:
theta = pi3 + pi = 4pi3

Passo 6

Com isso, podemos escrever o número complexo na forma polar:
z = e ( cos 4pi3 + i sin 4pi3 )

Passo 7

Agora, queremos elevar z à 100ª potência. Para isso, usamos o Teorema de De Moivre, que diz que:
z^n = r^n ( cos(ntheta) + i sin(ntheta) )
Aplicando isso ao nosso caso:
z^100 = e^100 ( cos (100 times 4pi3) + i sin (100 times 4pi3) )

Passo 8

Vamos simplificar o ângulo:
100 times 4pi3 = 400pi3 = 133pi + pi3
Como cos e sin são funções periódicas com período 2pi, podemos simplificar:
400pi3 mod 2pi = pi3
Portanto:
z^100 = e^100 ( cos pi3 + i sin pi3 )

Resposta

A forma polar de (-e2 - e raiz32 i)^100 é:
e^100 ( cos pi3 + i sin pi3 )

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