Exprima cada um dos números complexos na forma polar:
(raiz3+i1+i)^45

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para expressar o número complexo (raiz3+i1+i)^45 na forma polar. Isso envolve entender números complexos e como representá-los em forma polar, que é uma maneira de mostrar o número usando um módulo (distância da origem) e um argumento (ângulo em relação ao eixo real). Vamos precisar calcular o módulo e o argumento do número dentro do parêntese e depois aplicar a potenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o número complexo dentro dos parênteses: raiz3 + i1 + i. Para isso, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar o imaginário do denominador.
O conjugado de 1 + i é 1 - i. Então:
raiz3 + i1 + i times 1 - i1 - i = (raiz3 + i)(1 - i)(1 + i)(1 - i)

Passo 3

Vamos multiplicar os numeradores:
(raiz3 + i)(1 - i) = raiz3 times 1 + raiz3 times (-i) + i times 1 + i times (-i) = raiz3 - raiz3i + i - i^2
Sabemos que i^2 = -1, então:
raiz3 - raiz3i + i - (-1) = raiz3 - raiz3i + i + 1 = (raiz3 + 1) + (-raiz3 + 1)i

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os denominadores:
(1 + i)(1 - i) = 1 times 1 + 1 times (-i) + i times 1 + i times (-i) = 1 - i + i - i^2
Novamente, i^2 = -1, então:
1 - i + i - (-1) = 1 + 1 = 2

Passo 5

Assim, temos:
raiz3 + i1 + i = (raiz3 + 1) + (-raiz3 + 1)i2 = raiz3 + 12 + -raiz3 + 12i
Vamos chamar esse número de z = a + bi, onde:
a = raiz3 + 12 e b = -raiz3 + 12

Passo 6

Para converter z para a forma polar, precisamos encontrar o módulo r e o argumento theta.
O módulo é dado por:
r = raiza^2 + b^2 = raiz(raiz3 + 12)^2 + (-raiz3 + 12)^2
Calculando cada parte:
(raiz3 + 12)^2 = (raiz3)^2 + 2 times raiz3 times 1 + 1^24 = 3 + 2raiz3 + 14 = 4 + 2raiz34 = 1 + raiz32
(-raiz3 + 12)^2 = (raiz3)^2 - 2 times raiz3 times 1 + 1^24 = 3 - 2raiz3 + 14 = 4 - 2raiz34 = 1 - raiz32
Então:
r = raiz(1 + raiz32) + (1 - raiz32) = raiz2 approx 1.4142

Passo 7

Agora, vamos encontrar o argumento theta. O argumento é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real positivo.
theta = tan^-1(ba) = tan^-1(-raiz3 + 12raiz3 + 12) = tan^-1(-raiz3 + 1raiz3 + 1)
Simplificando:
-raiz3 + 1raiz3 + 1 = -(raiz3 - 1)raiz3 + 1 = -raiz3 - 1raiz3 + 1
Multiplicando numerador e denominador por (raiz3 - 1):
-(raiz3 - 1)^2(raiz3 + 1)(raiz3 - 1) = -3 - 2raiz3 + 13 - 1 = -4 - 2raiz32 = -2 + raiz3
Portanto:
theta = tan^-1(-2 + raiz3) approx -15°

Passo 8

Agora que temos r approx raiz2 e theta approx -15°, podemos escrever o número complexo z na forma polar:
z = r (cos theta + i sin theta) = raiz2 ( cos(-15°) + i sin(-15°) )

Passo 9

Aplicando a potenciação usando a fórmula de De Moivre, que diz que (r (cos theta + i sin theta))^n = r^n (cos(ntheta) + i sin(ntheta)), temos:
z^45 = ( raiz2 )^45 ( cos(45 times -15°) + i sin(45 times -15°) )
Calculando:
( raiz2 )^45 = (2^1/2)^45 = 2^45/2 = 2^22.5 = 2^22 times 2^0.5 = 4,194,304 times 1.4142 approx 5,929,002
45 times -15° = -675°
Como ângulos negativos ou maiores que 360° podem ser reduzidos, subtraímos múltiplos de 360°:
-675° + 2 times 360° = 45°
Então:
cos(-675°) = cos(45°) = raiz22 e sin(-675°) = sin(45°) = raiz22

Resposta

(raiz3+i1+i)^45 approx 5,929,002 ( raiz22 + i raiz22 )

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