Exresse os integrandos como soma de frações parciais e em seguida calcule as integrais.
\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{2}+2 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{x^{2}+2x+1}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional. Para resolver, vamos primeiro usar divisão de polinômios para obter uma fração própria e em seguida decompose-la em frações parciais.

Passo 2

Repare que x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, fazemos a divisão de polinômios:
\frac{x^{3}}{(x+1)^{2}} = x - 2 + \frac{3x+2}{(x+1)^{2}}.

Passo 3

Agora decompomos
\frac{3x+2}{(x+1)^{2}}
em frações parciais. Supomos
\frac{3x+2}{(x+1)^{2}} =\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}.
Então
A(x+1)+B=3x+2
implica A=3 e A+B=2, logo B=-1. Assim
\frac{x^{3}}{(x+1)^{2}} = x -2 + \frac{3}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^{2}}.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int\bigl(x-2\bigr)\,dx =\frac{x^{2}}{2}-2x, \qquad \int\frac{3}{x+1}\,dx =3\ln(x+1), \qquad \int-\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx =\frac{1}{x+1}.
Logo, uma antiderivada é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}-2x+3\ln(x+1)+\frac{1}{x+1}.

Passo 5

Avaliaremos de 0 a 1:
F(1)=\frac{1}{2}-2+3\ln2+\frac{1}{2}=-1+3\ln2, \quad F(0)=0-0+3\ln1+1=1.
Portanto,
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{x^{2}+2x+1}\,dx =F(1)-F(0) =(-1+3\ln2)-1 =-2+3\ln2.

Resposta

-2+3\ln2

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