Exresse os integrandos como soma de frações parciais e em seguida calcule as integrais.
\int \frac{8 x^{2}+8 x+2}{\left(4 x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int \frac{8x^{2}+8x+2}{4x^{2}+1}\,d x.
O conteúdo envolvido é integração de função racional por frações parciais: primeiro fazemos divisão de polinômios para obter uma parte polinomial mais uma parte verdadeiramente fracionária, e em seguida usamos substituição para integrar a fração própria.

Passo 2

Fazendo a divisão de polinômios, escrevemos
8x^{2}+8x+2 = 2\,(4x^{2}+1) + 8x,
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\frac{8x^{2}+8x+2}{4x^{2}+1} = 2 + \frac{8x}{4x^{2}+1}.

Passo 3

Separando a integral, temos
\int \frac{8x^{2}+8x+2}{4x^{2}+1}\,d x = \int 2\,d x \;+\;\int \frac{8x}{4x^{2}+1}\,d x.
A primeira parte é imediata:
\int 2\,d x = 2x + C_{1}.
Para a segunda, use a substituição
u = 4x^{2}+1,\quad d u = 8x\,d x,
o que dá
\int \frac{8x}{4x^{2}+1}\,d x = \int \frac{d u}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C_{2} = \ln\bigl(4x^{2}+1\bigr) + C_{2}.
Somando as duas e agrupando as constantes C_{1}+C_{2} num único C, obtemos a antiderivada buscada.

Resposta

2x + \ln\bigl(4x^{2}+1\bigr) + C

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