Exercício 6. (D. 6, ex.2.7) Seja F a transformada de Fourier. Mostre que:
F(f(x-b))(xi)=e^-i b xi F(f)(xi), b in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de deslocamento na transformada de Fourier: deslocar a função em b no domínio do tempo corresponde a multiplicar a sua transformada por e^-i b xi. Para isso, vamos usar a definição integral da transformada de Fourier em R.

Passo 2

Pela definição,
Fl(f(x-b)r)(xi) = integral-infty^infty f(x-b),e^-i x xi,dx
Fazemos a mudança de variável
y = x - b, x = y + b, dx = dy,
mantendo os limites de -infty a +infty.

Passo 3

Substituindo na integral,
Fl(f(x-b)r)(xi) = integral-infty^infty f(y),e^-i (y+b)xi,dy = integral-infty^infty f(y),e^-i y xi,e^-i b xi,dy

Passo 4

Como e^-i b xi independe de y, podemos tirá-lo fora da integral:
Fl(f(x-b)r)(xi) = e^-i b xi integral-infty^infty f(y),e^-i y xi,dy = e^-i b xi,F(f)(xi)

Resposta

Fl(f(x-b)r)(xi)=e^-i b xi,F(f)(xi)

Exercícios relacionados