(extra 1pts). Suponha que f é uma função que satisfaz
f(x+h)-f(x)=f(h)+x^2 h+x h^2
para quaisquer números reais x, h. Suponha também que
lim h 0 f(h)h=1
(a) Determine f(0).
Pondo x=h=0 , segue que f(0)-f(0)=f(0), logo f(0)=0
(b) Determine f^prime(0).
f^prime(0)=lim h 0 f(0+h)-f(0)h=lim h 0 f(h)h=1
(c) Determine f^prime(x).
f^prime(x) & =lim h 0 f(x+h)-f(x)h=lim h 0 f(h)+x^2 h+x h^2h & =lim h 0(f(h)h+x^2+x h)=1+x^2
(Problemas quentes 13 p.155)

Passo 1

O enunciado considera uma função f que satisfaz, para quaisquer reais x,h,
f(x+h)-f(x)=f(h)+x^2h+xh^2,
além de
limhto0f(h)h=1
O conteúdo principal é a definição de derivada e manipulação de equação funcional para encontrar (a) f(0), (b) f'(0) e (c) f'(x).

Passo 2

Para determinar f(0), basta escolher x=0 e h=0 na relação funcional:
f(0+0)-f(0)=f(0)+0^2cdot0+0cdot0^2
o que dá
f(0)-f(0)=f(0)Longrightarrow 0=f(0)

Passo 3

Para encontrar f'(0), usamos a definição
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h
e, como f(0)=0, isso se torna
f'(0)=limhto0f(h)h=1,
pela hipótese dada.

Passo 4

Para obter f'(x) em ponto genérico, aplicamos de novo a definição de derivada:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Pela equação funcional,
f(x+h)-f(x)h=f(h)+x^2h+xh^2h =f(h)h+x^2+xh
Fazendo hto0 e usando limhto0f(h)/h=1, resulta
f'(x)=1+x^2

Resposta

f(0)=0
f'(0)=1
f'(x)=1+x^2

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