(1,0) Resolva cada um dos itens abaixo, relacionados à conceitos topológicos:
Prove que se
é compacto, então toda função contínua
possui um valor máximo e um valor mínimo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é compacto e
é contínua, então existe
tais que
O que vamos usar:
. A imagem contínua de um conjunto compacto é compacta.
. Em
, ser compacto equivale a ser fechado e limitado.
. Em
, todo conjunto não-vazio fechado e limitado atinge seu supremo e ínfimo.
Passo 2
Como
é contínua e
é compacto, vale o teorema
logo
é compacto.
Passo 3
Em
, todo compacto é fechado e limitado. Portanto
é limitado, ou seja, existem números finitos
Passo 4
Além disso, como
é fechado em
, seus pontos de acumulação pertencem a ele. Em particular, o ínfimo
e o supremo
estão em
.
Passo 5
Da inclusão
segue que existem
tais que
Resposta
Existem
com
isto é,
atinge valor mínimo e máximo em
.