(1,0) Resolva cada um dos itens abaixo, relacionados à conceitos topológicos:
(0,3) Prove que se K subset R é compacto, então toda função contínua f: K R possui um valor máximo e um valor mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se KsubsetR é compacto e fcolon KtoR é contínua, então existe xmin,xmaxin K tais que
f(xmin)=minxin Kf(x) e f(xmax)=maxxin Kf(x)
O que vamos usar:
1. A imagem contínua de um conjunto compacto é compacta.
2. Em R, ser compacto equivale a ser fechado e limitado.
3. Em R, todo conjunto não-vazio fechado e limitado atinge seu supremo e ínfimo.

Passo 2

Como f é contínua e K é compacto, vale o teorema
ima>=m de compacto por função contínua é compacto, çãíé
logo
f(K)subsetR
é compacto.

Passo 3

Em R, todo compacto é fechado e limitado. Portanto f(K) é limitado, ou seja, existem números finitos
m=inf f(K) e M=sup f(K)

Passo 4

Além disso, como f(K) é fechado em R, seus pontos de acumulação pertencem a ele. Em particular, o ínfimo m e o supremo M estão em f(K).

Passo 5

Da inclusão m,Min f(K) segue que existem
xmin,xmaxin K
tais que
f(xmin)=m e f(xmax)=M

Resposta

Existem xmin,xmaxin K com
minxin Kf(x)=f(xmin) e maxxin Kf(x)=f(xmax),
isto é, f atinge valor mínimo e máximo em K.

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