Questão 4 (2,5 pontos)
dada a EDOL
y^prime prime-y^prime-6 y=f(x)
(a) Resolva pelo método dos coeficientes a determinar (encontre a solução geral) a EDOLÑH com f(x)=e^3 x+30
(b) Indique a forma de uma a solução particular da EDOLÑH que devemos procurar, sem, contudo, determinar os coeficientes desta solução, quando f(x)=(x^2+3 x) e^2 x+cos 2 x.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear não homogênea de segunda ordem
y'' - y' - 6y = f(x),
em que
– em (a) temos f(x)=e^3x+30 e pedem a solução geral pelo método dos coeficientes a determinar,
– em (b) temos f(x)=(x^2+3x)e^2x+cos 2x e pedem apenas a forma de uma solução particular, sem calcular os coeficientes.
Vamos usar a teoria de EDOs lineares com coeficientes constantes: primeiro obtemos a solução complementar via equação característica; depois escolhemos um palpite para a solução particular conforme f(x), ajustando em caso de ressonância.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - y' - 6y = 0
A equação característica é
r^2 - r - 6 = 0,
cuja solução é r=3 e r=-2. Logo a solução complementar é
yc = C1 e^3x + C2 e^-2x

Passo 3

Para f(x)=e^3x há ressonância, pois r=3 é raiz simples da característica. Então buscamos
yp1 = A x e^3x
Calculamos as derivadas:
yp1' = A e^3x + 3A x e^3x, yp1'' = 6A e^3x + 9A x e^3x
Substituindo em y''-y'-6y:
yp1''-yp1'-6yp1 = (6A+9A x - A-3A x -6A x)e^3x =5A,e^3x
Igualando a e^3x vem 5A=1, logo A=tfrac15 e
yp1 = x5e^3x

Passo 4

Para f(x)=30 (constante) não há ressonância. Fazemos o palpite
yp2=D
Então
yp2''-yp2'-6yp2=-6D
deve ser igual a 30, o que dá D=-5 e
yp2 = -5

Passo 5

Somando a solução complementar e as particulares, a solução geral para o item (a) é
y = yc + yp1 + yp2 = C1 e^3x + C2 e^-2x + x5e^3x - 5

Passo 6

Para (b), com f(x)=(x^2+3x)e^2x+cos2x, observamos que r=2 e r=pm2i não são raízes da característica, logo não há ressonância em nenhum termo. Assim o palpite geral de solução particular é
yp = (A x^2 + B x + C)e^2x ;+; Dcos2x + Esin2x

Resposta

(a) ;y = C1 e^3x + C2 e^-2x + dfracx5e^3x - 5
(b) A forma de uma solução particular é
yp = (A x^2 + B x + C)e^2x + Dcos2x + Esin2x

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