Questão 4 (2,5 pontos)
dada a EDOL
(a) Resolva pelo método dos coeficientes a determinar (encontre a solução geral) a EDOLÑH com
(b) Indique a forma de uma a solução particular da EDOLÑH que devemos procurar, sem, contudo, determinar os coeficientes desta solução, quando
.
dada a EDOL
(b) Indique a forma de uma a solução particular da EDOLÑH que devemos procurar, sem, contudo, determinar os coeficientes desta solução, quando
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO linear não homogênea de segunda ordem
em que
– em (a) temos e pedem a solução geral pelo método dos coeficientes a determinar,
– em (b) temos e pedem apenas a forma de uma solução particular, sem calcular os coeficientes.
Vamos usar a teoria de EDOs lineares com coeficientes constantes: primeiro obtemos a solução complementar via equação característica; depois escolhemos um palpite para a solução particular conforme , ajustando em caso de ressonância.
– em (a) temos
– em (b) temos
Vamos usar a teoria de EDOs lineares com coeficientes constantes: primeiro obtemos a solução complementar via equação característica; depois escolhemos um palpite para a solução particular conforme
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
cuja solução é
e
. Logo a solução complementar é
Passo 3
Para
há ressonância, pois
é raiz simples da característica. Então buscamos
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Igualando a
vem
, logo
e
Passo 4
Para
(constante) não há ressonância. Fazemos o palpite
Então
deve ser igual a
, o que dá
e
Passo 5
Somando a solução complementar e as particulares, a solução geral para o item (a) é
Passo 6
Para (b), com
, observamos que
e
não são raízes da característica, logo não há ressonância em nenhum termo. Assim o palpite geral de solução particular é
Resposta
(a)
(b) A forma de uma solução particular é
(b) A forma de uma solução particular é