EXTRA Calcule a concentração de amônia necessária para evitar a precipitação de cloreto de prata (AgCl) quando uma solução 0,010 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de nitrato de prata \left(\mathrm{AgNO}_{3}\right) é misturada em volumes iguais com uma solução 0,010 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de cloreto de sódio.
\mathrm{Ag}+2 \mathrm{NH}_{3} \rightleftharpoons \mathrm{Ag}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}{ }^{+} \quad \mathrm{Kf} .=1,74 \times 10^{7}
\mathrm{AgCl} \rightleftharpoons \mathrm{Ag}^{+}+\mathrm{Cl}^{-} \quad \mathrm{Kps}=1,78 \times 10^{-10}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a concentração de amônia necessária para evitar precipitação de cloreto de prata:
  • Solução de nitrato de prata: 0,010\\ \mathrm{mol/L}.
  • Solução de cloreto de sódio: 0,010\\ \mathrm{mol/L}.
  • As duas soluções são misturadas em volumes iguais.
  • Constante de formação:
\mathrm{Ag}^+ + 2\mathrm{NH}_3 \rightleftharpoons \mathrm{Ag(NH_3)_2^+},\quad K_f = 1,74\times10^{7}.
  • Produto de solubilidade:
\mathrm{AgCl} \rightleftharpoons \mathrm{Ag}^+ + \mathrm{Cl}^-,\quad K_{sp}=1,78\times10^{-10}.
O que se pede: calcular a concentração de amônia necessária para que, após a mistura, não ocorra precipitação de \mathrm{AgCl}.

Passo 2

Primeiro, encontrar as concentrações iniciais após misturar volumes iguais. Ao misturar volumes iguais, as concentrações iniciais são divididas por 2. Portanto:
  • Concentração inicial de prata total (antes de complexação): \displaystyle [\mathrm{Ag}]_T = \frac{0,010}{2}=0,005\\ \mathrm{mol/L}.
  • Concentração de cloreto: \displaystyle [\mathrm{Cl}^-]=\frac{0,010}{2}=0,005\\ \mathrm{mol/L}.
Para evitar precipitação de \mathrm{AgCl} é necessário que o produto iônico seja menor ou igual a K_{sp}, isto é:
[\mathrm{Ag}^+]\,[\mathrm{Cl}^-] \le K_{sp}.
Assim, o valor máximo permitido para a prata livre é
[\mathrm{Ag}^+]_{\max}=\frac{K_{sp}}{[\mathrm{Cl}^-]}.

Passo 3

Calcule [\mathrm{Ag}^+]_{\max} numericamente:
[\mathrm{Ag}^+]_{\max}=\frac{1,78\times10^{-10}}{0,005}=3,56\times10^{-8}\\ \mathrm{mol/L}.
Isto significa que, para não precipitar, a concentração de \mathrm{Ag}^+ livre tem que ser menor ou igual a \displaystyle 3,56\times10^{-8}\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 4

Agora usamos o equilíbrio de complexação para relacionar a prata livre com a amônia. A expressão da constante de formação é
K_f=\frac{[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]}{[\mathrm{Ag}^+][\mathrm{NH}_3]^2}.
Também vale a conservação da prata total:
[\mathrm{Ag}]_T = [\mathrm{Ag}^+] + [\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}].
Queremos a menor concentração de \mathrm{NH}_3 que faça com que [\mathrm{Ag}^+] \le [\mathrm{Ag}^+]_{\max}. Tomamos a condição limite igual (caso de saturação) e substituímos [\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}] = [\mathrm{Ag}]_T - [\mathrm{Ag}^+]. Assim:
[\mathrm{NH}_3]^2 = \frac{[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]}{K_f\,[\mathrm{Ag}^+]} = \frac{[\mathrm{Ag}]_T - [\mathrm{Ag}^+]}{K_f\,[\mathrm{Ag}^+]}.
Substituímos números usando [\mathrm{Ag}]_T=0,005\\ \mathrm{mol/L} e [\mathrm{Ag}^+] = [\mathrm{Ag}^+]_{\max}=3,56\times10^{-8}\\ \mathrm{mol/L}. Note que [\mathrm{Ag}^+] é muito pequeno comparado a 0,005, então [\mathrm{Ag}]_T - [\mathrm{Ag}^+] \approx 0,005, mas vou manter a forma para clareza:
[\mathrm{NH}_3]^2 = \frac{0,005 - 3,56\times10^{-8}}{1,74\times10^{7}\times 3,56\times10^{-8}}.

Passo 5

Faço as contas passo a passo:
Calcule o denominador:
1,74\times10^{7}\times 3,56\times10^{-8} = 0,61944.
Calcule a razão:
\frac{0,005}{0,61944}\approx 0,008075.
Agora a raiz quadrada:
[\mathrm{NH}_3]=\sqrt{0,008075}\approx 0,0899\\ \mathrm{mol/L}.
Arredondando de forma adequada, a concentração de amônia livre necessária é aproximadamente 0,090\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 6

Uma observação prática: na solução parte da amônia fica ligada ao complexo. A concentração total de amônia que você deve adicionar inicialmente (antes de a complexação ocorrer) é a soma da amônia livre que calculamos mais a amônia ligada no complexo. Cada mol de prata complexada consome 2 mol de \mathrm{NH}_3. Como quase toda a prata total 0,005\\ \mathrm{mol/L} ficará complexada quando quisermos reduzir [\mathrm{Ag}^+] tanto, a amônia ligada é
2\times[\mathrm{Ag(NH_3)_2^+}]\approx 2\times 0,005 = 0,010\\ \mathrm{mol/L}.
Portanto a concentração inicial de \mathrm{NH}_3 a ser adicionada antes do equilíbrio (concentração total) é aproximadamente
[\mathrm{NH}_3]_{\text{total}}\approx 0,0899+0,010\approx 0,0999\\ \mathrm{mol/L}\approx 0,100\\ \mathrm{mol/L}.

Resposta

[\mathrm{NH}_3]_{\text{livre}}\approx 0,090\\ \mathrm{mol/L}
[\mathrm{NH}_3]_{\text{total a adicionar}}\approx 0,100\\ \mathrm{mol/L}

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