(1,0) Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita.
(a) Mostre que L(V, W)=T: V W ; T é uma transformação linear é um subespaço vetorial de F(V, W)=f: V W ; f é uma função com as operações usuais.
(b) Se dim V=2 e dim W=3 exiba uma base de L(V, W) e dê sua dimensão.
(c) Seja g: R R fixada. Mostre que o subconjunto W=f in F(R, R) ; f(g(x))=f(x), forall x in R é um subespaço vetorial de F(R, R).

Passo 1

O enunciado diz que V e W são espaços vetoriais de dimensão finita. Definimos
F(V,W)=fcolon Vto Wmid f é qualquer funçãoéçã
com as operações ponto-a-ponto habituais e
L(V,W)=Tcolon Vto Wmid T é transformação linearéçã.
Precisamos mostrar em (a) que L(V,W) é subespaço de F(V,W), em (b) quando dim V=2 e dim W=3 exibir uma base de L(V,W) e sua dimensão, e em (c) para função fixa gcolonRtoR provar que
W=finF(R,R)mid f(g(x))=f(x) forall x
é subespaço de F(R,R).

Passo 2

(a) Para mostrar que L(V,W) é subespaço de F(V,W) precisamos verificar três propriedades:
  1. Zero em L(V,W): a aplicação nula
0Vcolon Vto W, 0V(v)=0W
é linear, logo 0VinL(V,W).
2. Fechadura na soma: se T1,T2inL(V,W), então para todo vin V
(T1+T2)(v)=T1(v)+T2(v)
e soma de vetores em W preserva linearidade, logo T1+T2 é linear e T1+T2inL(V,W).
3. Fechadura no produto escalar: se lambda é escalar e TinL(V,W) então
(lambda T)(v)=lambdal(T(v)r)
continua linear, então lambda TinL(V,W).
Portanto L(V,W) é subespaço de F(V,W).

Passo 3

(b) Tome v1,v2 base de V e w1,w2,w3 base de W. Para cada par (i,j) com i=1,2,3, j=1,2 defina
Ti j(vj)=wi, Ti j(vk)=0(kneq j)
Cada Tij é linear e são 6 aplicações. Mostra-se que Tij gera L(V,W) porque dado qualquer TinL(V,W), os vetores T(v1),T(v2)in W expandem-se na base wi, e a combinação desses Tij reproduz T. Também são linearmente independentes pois uma combinação nula impõe coeficientes todos zero analisando-se ação em v1 e v2.

Passo 4

Logo Tijmid i=1,2,3, j=1,2 é base de L(V,W) e
dimL(V,W)=3times2=6

Passo 5

(c) Defina
W=finF(R,R)mid f(g(x))=f(x) forall x
  1. A função nula f(x)equiv0 satisfaz 0(g(x))=0(x), logo 0in W.
  2. Se f1,f2in W, então
(f1+f2)(g(x))=f1(g(x))+f2(g(x))=f1(x)+f2(x)=(f1+f2)(x),
logo f1+f2in W.
3. Se lambda é escalar e fin W, então
(lambda f)(g(x))=lambda,f(g(x))=lambda,f(x)=(lambda f)(x),
logo lambda fin W.
Assim W é subespaço de F(R,R).

Resposta

(a) L(V,W) é subespaço de F(V,W) pois contém o zero, é fechado em soma e escalar.
(b) Usando bases v1,v2 e w1,w2,w3, a família
Tijmid Tij(vj)=wi, Tij(vk)=0 (kneq j)
é base de L(V,W) e dimL(V,W)=6.
(c) O conjunto
fcolonRtoRmid f(g(x))=f(x)
é subespaço de F(R,R) pois contém o zero e é fechado em soma e escalar.

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