Sejam
e
espaços vetoriais de dimensão finita.
(a) Mostre que
é uma transformação linear
é um subespaço vetorial de
é uma função
com as operações usuais.
(b) Se
e
exiba uma base de
e dê sua dimensão.
(c) Seja
fixada. Mostre que o subconjunto
é um subespaço vetorial de
.
(a) Mostre que
(b) Se
(c) Seja
Passo 1
O enunciado diz que
e
são espaços vetoriais de dimensão finita. Definimos
com as operações ponto-a-ponto habituais e
.
Precisamos mostrar em (a) que é subespaço de
, em (b) quando
e
exibir uma base de
e sua dimensão, e em (c) para função fixa
provar que
com as operações ponto-a-ponto habituais e
Precisamos mostrar em (a) que
é subespaço de
.
Passo 2
(a) Para mostrar que
é subespaço de
precisamos verificar três propriedades:
- Zero em
: a aplicação nula
é linear, logo
.
2. Fechadura na soma: se , então para todo
2. Fechadura na soma: se
e soma de vetores em
preserva linearidade, logo
é linear e
.
3. Fechadura no produto escalar: se é escalar e
então
3. Fechadura no produto escalar: se
continua linear, então
.
Portanto
é subespaço de
.
Passo 3
(b) Tome
base de
e
base de
. Para cada par
com
,
defina
Cada
é linear e são 6 aplicações. Mostra-se que
gera
porque dado qualquer
, os vetores
expandem-se na base
, e a combinação desses
reproduz
. Também são linearmente independentes pois uma combinação nula impõe coeficientes todos zero analisando-se ação em
e
.
Passo 4
Logo
é base de
e
Passo 5
(c) Defina
- A função nula
satisfaz , logo . - Se
, então
logo
.
3. Se é escalar e
, então
3. Se
logo
.
Assim
é subespaço de
.
Resposta
(a)
é subespaço de
pois contém o zero, é fechado em soma e escalar.
(b) Usando bases e
, a família
é base de e
.
(c) O conjunto
é subespaço de pois contém o zero e é fechado em soma e escalar.
(b) Usando bases
é base de
(c) O conjunto
é subespaço de