Exercício 9. (D. 3.3, ex.2.10) Mostre que
F(f(x) cos (c x))=12[f(xi-c)+f(xi+c)].

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos mostrar que, com a convenção
widehatf(xi);=;F[f](xi);=;integral-infty^inftyf(x),e^-i xxi,dx,
vale
Fl[f(x)cos(cx)r](xi) =tfrac12l[widehat f(xi-c)+widehat f(xi+c)r]
Para isso, vamos usar a linearidade da transformada e a fórmula de Euler para cos.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de Euler para o cosseno:
cos(cx) =e^,i c x+e^-,i c x2

Passo 3

Multiplicando por f(x), obtemos
f(x),cos(cx) =12l(f(x),e^,i c x+f(x),e^-,i c xr)

Passo 4

Pela linearidade da transformada de Fourier,
F[f(x)cos(cx)] =12l(F[,f(x)e^,i c x,]+F[,f(x)e^-,i c x,]r)

Passo 5

Cada termo é um caso de modulação (shift em frequência):
F[,f(x)e^,i c x,](xi) =integral-infty^inftyf(x),e^,i c x,e^-i xxi,dx =integral-infty^inftyf(x),e^-i x(xi-c),dx =widehat f(xi-c),
F[,f(x)e^-,i c x,](xi) =integral-infty^inftyf(x),e^-,i c x,e^-i xxi,dx =integral-infty^inftyf(x),e^-i x(xi+c),dx =widehat f(xi+c)

Passo 6

Substituindo no resultado do passo anterior, achamos
F[f(x)cos(cx)](xi) =12l[widehat f(xi-c)+widehat f(xi+c)r],
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

Fl[f(x)cos(cx)r](xi) =tfrac12l[widehat f(xi-c)+widehat f(xi+c)r]

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