Calcule as seguintes derivadas:
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Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \left(x^{4} - 3x^{2} + 7\right)^{10} $. Esse exercício está relacionado ao cálculo de derivadas, mais especificamente usando a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função interna e a função externa na nossa função composta. Aqui, a função interna é $ u(x) = x^{4} - 3x^{2} + 7 $ e a função externa é $ v(u) = u^{10} $. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta $ v(u(x)) $ é $ v’(u) \cdot u’(x) $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função externa $ v(u) = u^{10} $. Usando a regra do poder, a derivada de $ u^{n} $ é $ n \cdot u^{n-1} $. Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada da função interna $ u(x) = x^{4} - 3x^{2} + 7 $. Derivando cada termo:
- A derivada de $ x^{4} $ é $ 4x^{3} $ (usando a regra do poder).
- A derivada de $ -3x^{2} $ é $ -6x $.
- A derivada de uma constante $ 7 $ é $ 0 $.
Então,
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Passo 6
Por fim, substituímos $ u(x) $ de volta na expressão:
Resposta
A derivada da função é