Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=(x^4-3 x^2+7)^10;

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \left(x^{4} - 3x^{2} + 7\right)^{10} $. Esse exercício está relacionado ao cálculo de derivadas, mais especificamente usando a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna e a função externa na nossa função composta. Aqui, a função interna é $ u(x) = x^{4} - 3x^{2} + 7 $ e a função externa é $ v(u) = u^{10} $. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta $ v(u(x)) $ é $ v’(u) \cdot u’(x) $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função externa $ v(u) = u^{10} $. Usando a regra do poder, a derivada de $ u^{n} $ é $ n \cdot u^{n-1} $. Então,
v(u) = u^10

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da função interna $ u(x) = x^{4} - 3x^{2} + 7 $. Derivando cada termo:
  • A derivada de $ x^{4} $ é $ 4x^{3} $ (usando a regra do poder).
  • A derivada de $ -3x^{2} $ é $ -6x $.
  • A derivada de uma constante $ 7 $ é $ 0 $.
Então,
u(x) = x^4 - 3x^2 + 7

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna:
f'(x) = v'(u) cdot u'(x) = 10 cdot u^9 cdot (4x^3 - 6x)

Passo 6

Por fim, substituímos $ u(x) $ de volta na expressão:
u(x)

Resposta

A derivada da função é
f'(x) = 10 (x^4 - 3x^2 + 7)^9 cdot (4x^3 - 6x)

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