Esboce a região
do plano delimitado pela reta
e pela parábola
. Calcule a área da região
.
Passo 1
O enunciado pede para a gente esboçar e calcular a área da região S limitada pela reta
e pela parábola
. O conteúdo principal aqui é cálculo de área entre curvas no plano: vamos precisar achar os pontos de interseção, descobrir qual curva fica acima e configurar uma integral para obter a área.
Passo 2
Para encontrar os pontos onde a reta e a parábola se cruzam, igualamos
. Isso gera a equação
que fatoriza em
Logo, as abscissas de interseção são
e
. Substituindo em
, obtemos os pontos de interseção
e
.
Passo 3
Agora, para saber qual curva fica por cima no intervalo
, basta comparar um valor teste. Em
,
e
. Como
, a parábola está acima da reta em todo o intervalo de interseção. Essa informação é essencial tanto para o esboço quanto para montar a integral.
Passo 4
Podemos então esboçar rapidamente: a parábola abre para baixo com vértice em
, e a reta de inclinação 1 cruza as interseções em
e
. A região S é a “fatia” entre essas duas curvas de
a
.
Passo 5
A área dessa região é dada por
Passo 6
Calculamos uma primitiva:
Passo 7
Agora avaliamos nos limites:
Passo 8
Logo, a área é
Resposta
A área da região S é
.