Esboce a região S do plano delimitado pela reta y=x-1 e pela parábola y=5-x^2. Calcule a área da região S.

Passo 1

O enunciado pede para a gente esboçar e calcular a área da região S limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y = 5 - x^2. O conteúdo principal aqui é cálculo de área entre curvas no plano: vamos precisar achar os pontos de interseção, descobrir qual curva fica acima e configurar uma integral para obter a área.

Passo 2

Para encontrar os pontos onde a reta e a parábola se cruzam, igualamos x - 1 = 5 - x^2. Isso gera a equação
x^2 + x - 6 = 0,
que fatoriza em
(x + 3)(x - 2) = 0
Logo, as abscissas de interseção são x = -3 e x = 2. Substituindo em y = x - 1, obtemos os pontos de interseção (-3, -4) e (2, 1).

Passo 3

Agora, para saber qual curva fica por cima no intervalo [-3,2], basta comparar um valor teste. Em x = 0, yreta = 0 - 1 = -1 e yparábola = 5 - 0^2 = 5á. Como 5 > -1, a parábola está acima da reta em todo o intervalo de interseção. Essa informação é essencial tanto para o esboço quanto para montar a integral.

Passo 4

Podemos então esboçar rapidamente: a parábola abre para baixo com vértice em (0,5), e a reta de inclinação 1 cruza as interseções em (-3,-4) e (2,1). A região S é a “fatia” entre essas duas curvas de x=-3 a x=2.

Passo 5

A área dessa região é dada por
integral-3^2l[(5 - x^2) - (x - 1)r],dx = integral-3^2(6 - x - x^2),dx

Passo 6

Calculamos uma primitiva:
F(x) = integral(6 - x - x^2),dx = 6x - tfracx^22 - tfracx^33

Passo 7

Agora avaliamos nos limites:
F(2) = 6cdot2 - tfrac2^22 - tfrac2^33 = 12 - 2 - tfrac83 = tfrac223,
F(-3) = 6(-3) - tfrac(-3)^22 - tfrac(-3)^33 = -18 - tfrac92 + 9 = -tfrac272

Passo 8

Logo, a área é
F(2) - F(-3) = tfrac223 - l(-tfrac272r) = tfrac223 + tfrac272 = tfrac1256

Resposta

A área da região S é 1256.

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