Extra: Explique, de forma breve, como cada uma das três equações fundamentais abaixo descreve o comportamento de um fluido em escoamento:
  1. Conservação de massa (continuidade)
  2. Conservação de momento
  3. Equação de Bernoulli
Mostre, com um exemplo simples, como essas três ideias se relacionam quando um fluido passa de um tubo largo para um tubo estreito. (1 ponto)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de informação:
  • Pede uma explicação breve de como cada uma das três equações descreve o comportamento de um fluido em escoamento:
    1. Conservação de massa (continuidade).
    2. Conservação de momento.
    3. Equação de Bernoulli.
  • Pede também um exemplo simples que mostre como essas três ideias se relacionam quando um fluido passa de um tubo largo para um tubo estreito.
  • Não foram dadas medidas fixas no enunciado, então no exemplo vou escolher números simples para ilustrar (vou explicitar esses números quando usá-los).

Passo 2

Conservação de massa (continuidade) — o que ela diz e por quê:
  • Ideia física: massa não é criada nem destruída no escoamento (em regime estacionário, para um fluido incompressível). Em palavras: o que entra por segundo numa seção do tubo tem de sair por segundo na outra seção.
  • Fórmula básica para fluido incompressível e escoamento estacionário:
\dot m=\rho A v = \text{constante}
onde:
  • \dot m é a vazão mássica (kg/s),
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m³),
  • A é a área da seção transversal (m²),
  • v é a velocidade média na seção (m/s).
  • Consequência prática: entre duas seções 1 e 2 do tubo vale
\rho A_1 v_1 = \rho A_2 v_2 \quad\Rightarrow\quad A_1 v_1 = A_2 v_2.
  • Interpretação simples: se a área diminui ( A_2<A_1), a velocidade aumenta ( v_2>v_1) para manter a mesma vazão mássica.

Passo 3

Conservação de momento — o que ela diz e como usar:
  • Ideia física: a taxa de variação do momento linear do fluido dentro de um volume de controle é igual à soma das forças externas sobre esse volume (pressões nas faces, forças das paredes, forças corpo).
  • Forma integral simples, unidimensional e em regime estacionário (controle entre duas seções 1 e 2, e desprezando forças de volume além da gravidade se for o caso):
\sum F_x = \dot m v_2 - \dot m v_1
onde \sum F_x inclui as forças de pressão nas seções e a reação das paredes na direção x.
  • Significado: se a velocidade cresce ao passar do trecho 1 para 2, o termo \dot m(v_2-v_1) é positivo e isso exige uma força resultante no sentido do escoamento (essa força resulta de combinações de diferença de pressão e forças das paredes).
  • Como costuma ser aplicada em tubos: calcula-se a diferença de fluxo de momento entre as seções e se iguala à soma das forças de pressão e das paredes; assim obtém-se a força que o fluido exerce sobre o tubo (útil em projetos).

Passo 4

Equação de Bernoulli — o que ela diz e quando vale:
  • Ideia física: para um fluido ideal (sem viscosidade), incompressível e em escoamento estacionário, a soma da pressão estática, energia cinética por volume e energia potencial por volume é constante ao longo de uma linha de corrente.
  • Equação (entre dois pontos ao mesmo nível se preferir eliminar gravidade, ou geral):
p + \tfrac12\rho v^2 + \rho g z = \text{constante (ao longo de uma linha de corrente)}
onde:
  • p é a pressão estática (Pa),
  • \tfrac12\rho v^2 é a energia cinética por volume (Pa),
  • \rho g z é a energia potencial por volume (Pa) com z a cota (m).
  • Interpretação: se a velocidade aumenta ( v cresce), então (mantendo z constante) a pressão p deve diminuir para manter a soma constante. Essa é a relação direta entre aceleração do fluido e queda de pressão.

Passo 5

Aplicando as três ideias ao caso “tubo largo → tubo estreito” (passo a passo didático):
  • Escolha de exemplo numérico simples (apenas para ilustrar):
    • Área na entrada: A_1 = 0{,}02\\ \text{m}^2.
    • Área na garganta: A_2 = 0{,}01\\ \text{m}^2 (metade da área, ou seja, A_2 = A_1/2).
    • Velocidade na entrada: v_1 = 1{,}0\\ \text{m/s}.
    • Densidade: \rho = 1000\\ \text{kg/m}^3 (água, valor redondo).
    • Assumo mesmo nível ( z_1=z_2), escoamento estacionário, incompressível e quase-inviscid para usar Bernoulli claramente.
  • Usando continuidade para achar v_2:
A_1 v_1 = A_2 v_2 \quad\Rightarrow\quad v_2 = v_1\frac{A_1}{A_2} = 1{,}0\cdot\frac{0{,}02}{0{,}01}=2{,}0\\ \text{m/s}.
Interpretação: velocidade dobrou porque a área foi pela metade.
  • Usando Bernoulli (mesmo cota, z cancela) para relacionar pressões:
p_1 + \tfrac12\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac12\rho v_2^2.
Isolando p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac12\rho\bigl(v_1^2 - v_2^2\bigr).
Substituindo números:
p_2 = p_1 + \tfrac12\cdot1000\cdot\bigl(1^2 - 2^2\bigr) = p_1 + 500\cdot(1-4) = p_1 - 1500\\ \text{Pa}.
Interpretação: a pressão caiu 1500\\ \text{Pa} ao passar para o trecho estreito porque a velocidade aumentou.
  • Usando conservação de momento para ver forças envolvidas:
    • Primeiro calcule a vazão mássica:
    \dot m = \rho A_1 v_1 = 1000\cdot0{,}02\cdot1{,}0 = 20\\ \text{kg/s}.
    • A taxa de variação do momento (por segundo) ao atravessar o estreitamento é
    \dot m(v_2-v_1)=20\cdot(2{,}0-1{,}0)=20\\ \text{N}.Isso significa que o fluido ganha 20\\ \text{N} de momento por segundo na direção do escoamento.
    • Essa aceleração do fluido vem de forças: a diferença de forças de pressão nas seções e a força das paredes. A força de pressão resultante (entrada menos saída) é
    F_p = p_1 A_1 - p_2 A_2.Usando p_2 = p_1 -1500\\ \text{Pa}: F_p = p_1\cdot0{,}02 - (p_1-1500)\cdot0{,}01 = p_1(0{,}02-0{,}01) + 15 = 0{,}01 p_1 + 15.
    • A soma das forças (pressão + reação das paredes) deve igualar 20\\ \text{N}. Se isolar a força que a parede precisa aplicar ao fluido, dá
    F_{\text{wall}} = 20 - F_p.Observação: aqui F_p depende de p_1. Em muitas aplicações a pressão absoluta p_1 é grande (por ex. ordem de 10^5\\ \text{Pa}), então F_p tende a ser grande e a força das paredes ajusta-se para que a soma dê os 20\\ \text{N} necessários para acelerar o fluido. O importante conceitual é: a queda de pressão (Bernoulli) e o aumento de velocidade (continuidade) implicam uma mudança de momento que exige forças (conservação de momento).
  • Resumo do exemplo numérico:
    • Continuidade: v_2=2{,}0\\ \text{m/s}.
    • Bernoulli: p_2 = p_1 - 1500\\ \text{Pa} (queda de pressão).
    • Momento: \dot m (v_2-v_1)=20\\ \text{N} é a taxa de variação do momento; as pressões e a força das paredes fornecem essa taxa.

Passo 6

Ligando tudo de forma simples (intuição final, motivadora):
  • Continuidade diz quem varia: a velocidade muda quando a área muda.
  • Bernoulli diz a consequência energética: essa mudança de velocidade envolve troca entre pressão e energia cinética por volume — se velocidade sobe, pressão cai (se altura e perdas forem desprezíveis).
  • Conservação de momento diz o que física e estruturalmente precisa acontecer: a alteração na velocidade implica mudança de momento, e essa mudança exige forças (diferença de pressão e/ou forças das paredes). Ou seja, Bernoulli e continuidade explicam “como” pressão e velocidade mudam; o balanço de momento explica “quem aplica força” e quanto é necessário para manter esse escoamento.
  • Motivação de prova: em questões de prova, normalmente primeiro usa-se continuidade para relacionar velocidades, depois Bernoulli para relacionar pressões, e finalmente conservação de momento (quando pedem forças sobre suportes ou tubulação) para calcular forças resultantes.

Resposta

  1. Conservação de massa (continuidade): \rho A v= constante, portanto A_1 v_1 = A_2 v_2. Isso garante que a vazão mássica se conserva; se a área diminui, a velocidade aumenta.
  2. Conservação de momento: \displaystyle \sum F_x = \dot m v_2 - \dot m v_1. A variação de momento do fluido entre seções é igual à soma das forças (pressão nas faces + reação das paredes), explicando de onde vem a aceleração.
  3. Equação de Bernoulli: \displaystyle p + \tfrac12\rho v^2 + \rho g z = \text{constante (ao longo de uma linha de corrente)}. Relaciona pressão, energia cinética por volume e energia potencial por volume; aumento de velocidade implica queda de pressão (se z constante).
    Exemplo (números): com A_1=0{,}02\\ \text{m}^2, A_2=0{,}01\\ \text{m}^2, v_1=1{,}0\\ \text{m/s}, \rho=1000\\ \text{kg/m}^3 v_2=2{,}0\\ \text{m/s} (continuidade); p_2=p_1-1500\\ \text{Pa} (Bernoulli); \dot m=20\\ \text{kg/s} e \dot m(v_2-v_1)=20\\ \text{N} é a taxa de variação do momento que deve ser fornecida por pressões e forças das paredes (conservação de momento).

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