Um"chip" de computador quadrado, de lado igual a 5 mm , isotérmico, é montado em um substrato de modo que as suas superfícies laterais e traseira estejam perfeitamente isoladas, enquanto a superíficie frontal está exposta ao ar, à temperatura 15^{\circ} \mathrm{C}, e coeficiente de convecção de 200 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. K. Devido a critérios de confiabilidade, a temperatura da superfície do chip não pode exceder 85^{\circ} \mathrm{C}.
a) calcule a taxa de transferência de calor liberada pelo chip, considerando apenas a convecção;
b) calcule o acréscimo percentual na taxa de transferência de calor, levando-se em conta também a taxa de transferência de calor liberada pelo chip por radiação. Considere que todo o meio circundante esteja a 15^{\circ} \mathrm{C}. A superfície do chip tem emissividade 0,9.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • O chip é quadrado com lado \,5\\ \text{mm}\,.
  • Só a superfície frontal está exposta ao ar; as demais superfícies estão isoladas (logo só há troca de calor pela face frontal).
  • Temperatura do ar (meio circundante): \,15^\circ\text{C}\,.
  • Coeficiente de convecção: \,h=200\\ \mathrm{W/m^{2}\!·K}\,.
  • Temperatura máxima da superfície do chip: \,85^\circ\text{C}\,.
  • Emissividade da superfície: \,\varepsilon=0{,}9.
  • Constante de Stefan–Boltzmann: \,\sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^{2}\!·K^{4}}.
O enunciado pede:
(a) calcular a taxa de transferência de calor liberada pelo chip considerando apenas convecção;
(b) calcular o acréscimo percentual na taxa de transferência de calor quando se inclui também a radiação (meio ambiente a \,15^\circ\text{C}\,).

Passo 2

Vou montar a equação da convecção e explicar a física/fórmula usada. Conceito: para uma superfície aproximadamente isotérmica em um fluido, a taxa de calor perdida por convecção é dada por:
\dot{Q}_{\text{conv}} = h\,A\,(T_s - T_\infty),
onde:
  • \dot{Q}_{\text{conv}} é a potência térmica por convecção (em \mathrm{W});
  • h é o coeficiente convectivo \mathrm{W/m^{2}·K};
  • A é a área da superfície exposta em \mathrm{m^2};
  • T_s é a temperatura da superfície (em K ou °C, desde que a diferença de temperatura use a mesma unidade);
  • T_\infty é a temperatura do ar distante (em K ou °C).
Vou calcular a área da face frontal do chip e a diferença de temperatura: converter o lado para metros e calcular área.

Passo 3

Cálculo da área e do termo convectivo:
\text{lado} = 5\\ \text{mm} = 0{,}005\\ \mathrm{m},
A = (\,0{,}005\\ \mathrm{m}\,)^{2} = 2{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Diferença de temperatura:
T_s - T_\infty = 85^\circ\text{C} - 15^\circ\text{C} = 70\\ \text{K}.
Agora aplico a fórmula da convecção:
\dot{Q}_{\text{conv}} = 200\cdot 2{,}5\times10^{-5}\cdot 70.
Faço as contas passo a passo:
200\cdot 2{,}5\times10^{-5} = 0{,}005,
0{,}005\cdot 70 = 0{,}35\\ \mathrm{W}.
Portanto a potência retirada por convecção é \,0{,}35\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Agora explico a radiação e monto a fórmula. Conceito: a taxa de calor por radiação entre uma superfície (em direção a um ambiente grande à mesma temperatura do ar) é dada por a lei de Stefan–Boltzmann (considerando objeto pequeno trocando com grandes paredes a temperatura do ambiente):
\dot{Q}_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T_s^{4} - T_{\text{amb}}^{4}),
onde:
  • \varepsilon é a emissividade (adiimensional);
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann ( \mathrm{W/m^{2}·K^{4}});
  • T_s e T_{\text{amb}} devem estar em kelvin ( \mathrm{K}).
Primeiro converto temperaturas para kelvin:
T_s = 85^\circ\text{C} = 85 + 273{,}15 = 358{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{amb}} = 15^\circ\text{C} = 15 + 273{,}15 = 288{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Vou calcular T_s^{4}-T_{\text{amb}}^{4} de maneira numérica estável usando a fatoração
T_s^{4}-T_{\text{amb}}^{4} = (T_s^{2}-T_{\text{amb}}^{2})(T_s^{2}+T_{\text{amb}}^{2}).
Calculo T_s^{2} e T_{\text{amb}}^{2}:
T_s^{2} = 358{,}15^{2} = 128271{,}4225\\ \mathrm{K^{2}},
T_{\text{amb}}^{2} = 288{,}15^{2} = 83030{,}4225\\ \mathrm{K^{2}}.
Logo
T_s^{2}-T_{\text{amb}}^{2} = 128271{,}4225 - 83030{,}4225 = 45241{,}0,
T_s^{2}+T_{\text{amb}}^{2} = 128271{,}4225 + 83030{,}4225 = 211301{,}845.
Multiplicando:
T_s^{4}-T_{\text{amb}}^{4} = 45241{,}0 \times 211301{,}845 \approx 9{,}5595067696\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.

Passo 6

Agora aplico a fórmula da radiação:
\dot{Q}_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T_s^{4}-T_{\text{amb}}^{4}).
Substituindo os valores:
\dot{Q}_{\text{rad}} = 0{,}9 \times 5{,}670374419\times10^{-8} \times 2{,}5\times10^{-5} \times 9{,}5595067696\times10^{9}.
Faço as multiplicações em etapas:
\sigma A = 5{,}670374419\times10^{-8}\times 2{,}5\times10^{-5} = 1{,}41759360475\times10^{-12},
\varepsilon\sigma A = 0{,}9\times 1{,}41759360475\times10^{-12} = 1{,}275834244275\times10^{-12},
\dot{Q}_{\text{rad}} = 1{,}275834244275\times10^{-12}\times 9{,}5595067696\times10^{9} \approx 1{,}21963462463\times10^{-2}\\ \mathrm{W}.
Portanto:
\dot{Q}_{\text{rad}} \approx 0{,}012196\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Agora calculo o acréscimo percentual na taxa de transferência ao incluir radiação. Defino acréscimo percentual relativo à convecção sozinho:
\text{Acréscimo \%} = 100\%\times\frac{\dot{Q}_{\text{rad}}}{\dot{Q}_{\text{conv}}}.é
Substituo os valores numéricos:
\text{Acréscimo \%} = 100\%\times\frac{0{,}012196\\ \mathrm{W}}{0{,}35\\ \mathrm{W}} \approx 100\%\times 0{,}0348467 \approx 3{,}48\%.é

Resposta

(a) \dot{Q}_{\text{conv}} = 0{,}35\\ \mathrm{W}
(b) Acréscimo percentual \approx 3{,}48\\ \%

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