Uma parede de concreto em um prédio comercial tem uma área superficial total de 30 \mathrm{~m}^{2} e uma espessura de 30,0 \mathrm{~cm}. No inverno, o ar ambiente (interno) deve ser mantido a 24^{\circ} \mathrm{C} enquanto o ar externo encontra-se a 15^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o coeficiente global de transferência de calor e a taxa de transferência de calor do ambiente para o exterior. A condutividade do concreto é de 1,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, e os coeficientes de troca de calor por conveção interno e externo são 8,0 e 23,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}.K respectivamente. Desconsidere as trocas por radiação.
6) Uma chapa de aço de 1,5 \mathrm{~mm} de espessura está exposta a atmosferas de nitrogênio, em ambos os lados, a 1200^{\circ} \mathrm{C} e em condição de difusão em estado estacionário. O coeficiente de difusão do nitrogênio no aço a essa temperatura é de 6 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, e o fluxo de difusão é de 1,2 \times 10^{-7} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2}. s. Além disso, sabe-se que a concentração de nitrogênio no aço na superfície de alta pressão é de 4 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. A que distância da folha a
partir deste lado de alta pressão a concentração será de 2,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Assuma um perfil de concentração linear.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada enunciado pede e todos os dados fornecidos (peguei estes números do enunciado).
Problema 1 (parede de concreto)
  • Perguntas:
    1. Calcular o coeficiente global de transferência de calor.
    2. Calcular a taxa de transferência de calor do ambiente interno para o exterior.
  • Dados:
    • Área superficial total: A=30\\ \mathrm{m}^{2}.
    • Espessura do concreto: L=30,0\\ \mathrm{cm} = 0,30\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura interna: T_{\text{in}}=24^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura externa: T_{\text{out}}=15^{\circ}\mathrm{C}.
    • Condutividade térmica do concreto: k=1,0\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
    • Coeficiente de convecção interno: h_i=8,0\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}.
    • Coeficiente de convecção externo: h_o=23,0\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}.
    • Desprezar radiação.
Problema 2 (difusão de nitrogênio numa chapa de aço)
  • Pergunta:
    • A que distância da face de alta pressão a concentração será 2,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, assumindo perfil linear de concentração?
  • Dados:
    • Espessura da chapa: L_{\text{chapa}}=1,5\\ \mathrm{mm}=1,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura: 1200^{\circ}\mathrm{C} (informação de estado, não necessária nos cálculos numéricos além de justificar D).
    • Coeficiente de difusão: D=6\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.
    • Fluxo de difusão (magnitude): J=1,2\times10^{-7}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{s}.
    • Concentração na superfície de alta pressão (em x=0): C(0)=4,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
    • Assuma perfil de concentração linear (estado estacionário).

Passo 2

Entendendo e formulando a solução do Problema 1 (coeficiente global U e fluxo térmico \dot{Q}).
Explicação didática do conceito que vamos usar:
  • Quando há transferência de calor através de uma parede com convecção nos dois lados e condução no corpo, as “resistências térmicas” se somam em série, tal como resistores elétricos.
  • A resistência convectiva por unidade de área (resistência superficial) é \dfrac{1}{h}.
  • A resistência de condução por unidade de área é \dfrac{L}{k}.
  • A resistência térmica total por unidade de área é
R_{\text{tot, área}}=\frac{1}{h_i}+\frac{L}{k}+\frac{1}{h_o}.á
  • O coeficiente global de transferência de calor por unidade de área U é o recíproco dessa resistência:
U=\frac{1}{R_{\text{tot, área}}}=\frac{1}{\dfrac{1}{h_i}+\dfrac{L}{k}+\dfrac{1}{h_o}}.á
  • A taxa de transferência de calor (potência) do ambiente interno para o exterior é
\dot{Q}=U\,A\,\Delta T,
onde \Delta T=T_{\text{in}}-T_{\text{out}}. Aqui \Delta T em K ou ^{\circ}\mathrm{C} é equivalente para diferenças.

Passo 3

Calcular as resistências parciais por unidade de área (cada termo de R_{\text{tot, área}}á) e avaliá-las numericamente.
  • Resistência convectiva interna por área:
\frac{1}{h_i}=\frac{1}{8,0} = 0,125\\ \mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Resistência de condução do concreto por área:
\frac{L}{k}=\frac{0,30}{1,0}=0,30\\ \mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Resistência convectiva externa por área:
\frac{1}{h_o}=\frac{1}{23,0}\approx 0,043478\\ \mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Soma das resistências por área:
R_{\text{tot, área}}=0,125+0,30+0,043478\approx 0,468478\\ \mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}.á

Passo 4

Calcular o coeficiente global U.
  • Recíproco da resistência total:
U=\frac{1}{R_{\text{tot, área}}}=\frac{1}{0,468478}\approx 2,134\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}.á
Breve comentário de incentivo: ótimo — já temos o U, falta só multiplicar pela área e pela diferença de temperatura para obter a potência.

Passo 5

Calcular a taxa de transferência de calor \dot{Q}.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T=T_{\text{in}}-T_{\text{out}}=24^{\circ}\mathrm{C}-15^{\circ}\mathrm{C}=9\\ \mathrm{K}.
  • Aplicando \dot{Q}=U A \Delta T:
\dot{Q}=2,134\cdot 30\cdot 9 \approx 576,2\\ \mathrm{W}.
Interpretação rápida: são cerca de 0,576\\ \mathrm{kW} perdidos do interior para o exterior por essa parede sob as condições dadas.

Passo 6

Agora o Problema 2 (difusão) — formular a lei que aplica e explicar bem.
Explicação didática de Fick e do perfil linear:
  • A primeira lei de Fick (estado estacionário, transporte unidimensional) relaciona o fluxo de massa por área J com o gradiente de concentração:
J=-D\,\frac{dC}{dx},
onde
  • J é o fluxo de massa por área ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{s}),
  • D é o coeficiente de difusão ( \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}),
  • C=C(x) é a concentração ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}),
  • x é a coordenada espacial ( \mathrm{m}).
  • Em estado estacionário, J é constante ao longo da espessura. Se a concentração varia linearmente (hipótese do enunciado), então \dfrac{dC}{dx} é constante e podemos escrever:
\frac{dC}{dx}=-\frac{J}{D}.
  • Integrando a partir da superfície de alta pressão em x=0 (onde C(0)=C_0) até uma posição x, obtemos a expressão para C(x):
C(x)=C(0)-\frac{J}{D}\,x.
Essa fórmula é simples e muito útil: a concentração decresce linearmente com a inclinação \dfrac{J}{D}.

Passo 7

Aplicar a expressão para encontrar a distância x onde C(x)=2,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Usando
C(x)=C(0)-\frac{J}{D}\,x,
com C(0)=4,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, C(x)=2,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, J=1,2\times10^{-7}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{s} e D=6\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.
  • Reorganizando para x:
x=\frac{C(0)-C(x)}{J/D}=(C(0)-C(x))\frac{D}{J}.
  • Substituindo os números:
x=(4,0-2,0)\cdot\frac{6\times10^{-11}}{1,2\times10^{-7}}=2,0\cdot\frac{6\times10^{-11}}{1,2\times10^{-7}}.

Passo 8

Calcular numericamente x.
  • Primeiro a fração:
\frac{6\times10^{-11}}{1,2\times10^{-7}}=\frac{6}{1,2}\times10^{-11+7}=5,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Multiplicando por 2,0:
x=2,0\times 5,0\times10^{-4}=1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1,0\\ \mathrm{mm}.
  • Verificação rápida: a posição x=1,0\\ \mathrm{mm} está dentro da espessura total da chapa ( 1,5\\ \mathrm{mm}), então a resposta é consistente com a hipótese de perfil linear ao longo da espessura.

Resposta

U\approx 2,13\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}
\dot{Q}\approx 576,2\\ \mathrm{W}
x=1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1,0\\ \mathrm{mm}

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