EXTRA (5,0) A função f(x, y)=x^3+y^3-6 x^2-6 y^2+12 x+12 y é dada.
b) Utilize o critério da matriz Hessiana para classificar esses pontos críticos como mínimos, máximos ou pontos de sela.

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério da matriz Hessiana para classificar os pontos críticos da função f(x,y) = x^3 + y^3 -6x^2 -6y^2 +12x +12y. Vamos precisar saber o que é a matriz Hessiana, como calcular suas entradas (derivadas segundas) e como usar o determinante principal para decidir se é mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Para obter os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais primeiras e as igualamos a zero.
partial fpartial x = 3x^2 -12x +12 = 3(x-2)^2
partial fpartial y = 3y^2 -12y +12 = 3(y-2)^2
Igualando cada expressão a zero, temos x=2 e y=2, logo o único ponto crítico é (2,2).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana H(x,y), cujas entradas são as segundas derivadas parciais:
fxx = 6x -12
fyy = 6y -12
fxy = 0
Avaliamos essas derivadas segundas no ponto crítico (2,2):
fxx(2,2) = 6cdot2 -12 = 0
fyy(2,2) = 6cdot2 -12 = 0
fxy(2,2) = 0

Passo 4

O determinante principal da Hessiana é dado por
De
Substituindo os valores de (2,2), temos
De
Como De, o critério da Hessiana é inconclusivo e não decide se é mínimo, máximo ou sela.

Passo 5

Para classificar, fazemos a troca de variáveis u = x-2 e v = y-2. Nesse sistema, a função fica
f(u,v) = u^3 + v^3 + constante
Ao longo de u com v=0 a função muda de sinal conforme u troca de sinal, caracterizando um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico (2,2) é um ponto de sela.

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