EXTRA
A função
é dada.
b) Utilize o critério da matriz Hessiana para classificar esses pontos críticos como mínimos, máximos ou pontos de sela.
b) Utilize o critério da matriz Hessiana para classificar esses pontos críticos como mínimos, máximos ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede para usar o critério da matriz Hessiana para classificar os pontos críticos da função
. Vamos precisar saber o que é a matriz Hessiana, como calcular suas entradas (derivadas segundas) e como usar o determinante principal para decidir se é mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 2
Para obter os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais primeiras e as igualamos a zero.
Igualando cada expressão a zero, temos
e
, logo o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora montamos a matriz Hessiana
, cujas entradas são as segundas derivadas parciais:
Avaliamos essas derivadas segundas no ponto crítico
:
Passo 4
O determinante principal da Hessiana é dado por
Substituindo os valores de
, temos
Como
, o critério da Hessiana é inconclusivo e não decide se é mínimo, máximo ou sela.
Passo 5
Para classificar, fazemos a troca de variáveis
e
. Nesse sistema, a função fica
Ao longo de
com
a função muda de sinal conforme
troca de sinal, caracterizando um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico (2,2) é um ponto de sela.