Considere as equações abaixo e responda o que se pede: ( 45 pontos).
Escreva a integral em coordenadas polares que representa o volume do sólido compreendido entre I e II. (5 pontos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cálculo de volume usando coordenadas polares. A gente tem duas equações que definem superfícies no espaço:
e
. Nosso objetivo é escrever uma integral em coordenadas polares que calcule o volume do sólido que está entre essas duas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa. A equação
é um paraboloide que se abre para cima. Já
é um cone que se abre para cima também. O sólido que queremos calcular o volume está entre essas duas superfícies.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, substituímos
por
e
por
. Além disso,
vira
. Então, as equações ficam:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Como estamos em coordenadas polares e não foi especificado um intervalo para
, assumimos que
varia de
a
para cobrir todo o círculo. Para
, observamos que as duas superfícies se intersectam quando
, ou seja,
ou
. Portanto,
varia de
a
.
Passo 5
A integral para calcular o volume entre as duas superfícies é a diferença entre as duas funções de
, multiplicada pelo elemento de área em coordenadas polares, que é
. Então, a integral fica:
Resposta
A integral em coordenadas polares que representa o volume do sólido é: