Considere as equações abaixo e responda o que se pede: ( 45 pontos).
c z=x^2+y^2 z=raizx^2+y^2
Escreva a integral em coordenadas polares que representa o volume do sólido compreendido entre I e II. (5 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cálculo de volume usando coordenadas polares. A gente tem duas equações que definem superfícies no espaço: e . Nosso objetivo é escrever uma integral em coordenadas polares que calcule o volume do sólido que está entre essas duas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa. A equação é um paraboloide que se abre para cima. Já é um cone que se abre para cima também. O sólido que queremos calcular o volume está entre essas duas superfícies.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, substituímos z = r^2 por z = r e por . Além disso, vira . Então, as equações ficam:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . Como estamos em coordenadas polares e não foi especificado um intervalo para , assumimos que varia de a para cobrir todo o círculo. Para , observamos que as duas superfícies se intersectam quando , ou seja, ou . Portanto, varia de a .

Passo 5

A integral para calcular o volume entre as duas superfícies é a diferença entre as duas funções de V = integral0^2pi integral0^1 ( r - r^2 ) r , dr , dtheta , multiplicada pelo elemento de área em coordenadas polares, que é . Então, a integral fica:

Resposta

A integral em coordenadas polares que representa o volume do sólido é:
V = integral0^2pi integral0^1 ( r - r^2 ) r , dr , dtheta

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