(5,0) Seja f(x, y)=3 x^2+2 y^2-4 x y+5.
b) Verifique a natureza desses pontos (mínimo, máximo ou ponto de sela) utilizando o critério da matriz Hessiana.

Passo 1

O enunciado pede para, a partir da função f(x,y)=3x^2+2y^2-4xy+5, classificar os pontos críticos (mínimo, máximo ou sela) usando o critério da matriz Hessiana. Vamos precisar calcular o gradiente para achar os pontos críticos e depois usar a Hessiana para ver a natureza de cada um.

Passo 2

Calcular o gradiente de f e resolver nabla f=0. Temos
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(6x-4y,;4y-4x)
Igualando a zero:
$$
6x-4y=0,
$$
6x-4y=0,
Da segunda equação vem 4y-4x=0 , . Substituindo na primeira: y=x, logo 6x-4x=2x=0 e x=0. Assim o único ponto crítico é y=0.

Passo 3

Definir a matriz Hessiana de f, cujos elementos são as segundas derivadas parciais:
H(f)=fxx&fxyfyx&fyy =6&-4-4&4
Note que aqui as derivadas são constantes, então essa mesma matriz vale em qualquer ponto.

Passo 4

Aplicar o critério dos menores principais para classificar o ponto crítico:
  • Primeiro menor principal: D1=fxx=6>0.
  • Segundo menor principal (determinante de H): D2=6cdot4-(-4)^2=24-16=8>0
    Como D1>0 e D2>0, a Hessiana é definida positiva, o que indica que (0,0) é ponto de mínimo local.

Passo 5

Concluímos, portanto, que a única solução crítica (0,0) é um ponto de mínimo de f.

Resposta

O ponto crítico (0,0) é um ponto de mínimo local.

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