Seja
.
b) Verifique a natureza desses pontos (mínimo, máximo ou ponto de sela) utilizando o critério da matriz Hessiana.
b) Verifique a natureza desses pontos (mínimo, máximo ou ponto de sela) utilizando o critério da matriz Hessiana.
Passo 1
O enunciado pede para, a partir da função
, classificar os pontos críticos (mínimo, máximo ou sela) usando o critério da matriz Hessiana. Vamos precisar calcular o gradiente para achar os pontos críticos e depois usar a Hessiana para ver a natureza de cada um.
Passo 2
Calcular o gradiente de
e resolver
. Temos
Igualando a zero:
$$
6x-4y=0,
$$
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
, logo
e
. Assim o único ponto crítico é
.
Passo 3
Definir a matriz Hessiana de
, cujos elementos são as segundas derivadas parciais:
Note que aqui as derivadas são constantes, então essa mesma matriz vale em qualquer ponto.
Passo 4
Aplicar o critério dos menores principais para classificar o ponto crítico:
- Primeiro menor principal:
. - Segundo menor principal (determinante de
):
Comoe , a Hessiana é definida positiva, o que indica que é ponto de mínimo local.
Passo 5
Concluímos, portanto, que a única solução crítica
é um ponto de mínimo de
.
Resposta
O ponto crítico
é um ponto de mínimo local.