Uma extremidade de uma pesada barra
, está articulada com uma parede vertical e a outra extremidade está amarrada a um cabo de aço de comprimento 3 m . A outra extremidade do cabo também está fixada à parede a distància de 4 m acima da dobradiça. Uma massa
está pendurada em uma extremidade da barra por uma outra corda.
(a) Determine a tensào no cabo e na corda.
(b) Encontre a força que a dobradiça exerce sobre a barra.
(a) Determine a tensào no cabo e na corda.
(b) Encontre a força que a dobradiça exerce sobre a barra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício apresenta uma barra pesada de 50 kg, conectada a uma parede por uma dobradiça em uma extremidade. Na outra extremidade, a barra está presa por um cabo de aço de 3 metros, que também está fixado na parede a 4 metros acima da dobradiça. Além disso, temos uma massa de 20 kg pendurada na barra por uma corda. Precisamos determinar:
(a) As tensões no cabo e na corda.
(b) A força que a dobradiça exerce sobre a barra.
(b) A força que a dobradiça exerce sobre a barra.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática, como equilíbrio de forças e momentos, além de entender como as tensões funcionam em cabos e cordas.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que está acontecendo. A barra está em equilíbrio, ou seja, não está se movendo. Isso significa que a soma das forças e a soma dos momentos (ou torques) que atuam sobre a barra devem ser iguais a zero.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando na barra:
-
Peso da barra: A barra tem massa de 50 kg, então o peso $ P_b = M \times g = 50 \times 9,81 = 490,5 , N $. Esse peso age no centro da barra.
-
Peso da massa pendurada: A massa de 20 kg gera um peso $ P_m = m \times g = 20 \times 9,81 = 196,2 , N $.
-
Tensão no cabo: Vamos chamar essa tensão de $ T_c $.
-
Tensão na corda: Vamos chamar essa tensão de $ T_{corda} $.
-
Força na dobradiça: Vamos chamar essa força de $ F_d $, que tem componentes horizontal e vertical.
Passo 4
Vamos agora analisar os momentos. Escolheremos a dobradiça como ponto de referência para calcular os momentos, pois assim as forças na dobradiça não contribuem para os momentos (já que o braço de alavanca é zero).
Para que a barra esteja em equilíbrio, a soma dos momentos no sentido horário deve ser igual à soma dos momentos no sentido anti-horário.
Passo 5
Para calcular os momentos, precisamos determinar as distâncias perpendiculares das forças ao ponto de rotação (a dobradiça).
-
Peso da barra: Age no centro da barra. Se considerarmos que a barra tem comprimento $ L $, então a distância perpendicular é $ \frac{L}{2} $.
-
Peso da massa pendurada: Age na extremidade da barra, então a distância perpendicular é $ L $.
-
Tensão no cabo: O cabo está a 3 m da dobradiça horizontalmente e 4 m acima verticalmente. A distância perpendicular pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras: $ \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 , m $.
Passo 6
Vamos montar a equação dos momentos. Considerando que momentos no sentido anti-horário são positivos e no sentido horário são negativos:
Como não foi fornecido o comprimento da barra $ L $, vamos assumir que $ L = 5 , m $ para facilitar os cálculos.
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos na equação dos momentos:
Calculando:
Então:
Passo 8
Agora que encontramos a tensão no cabo $ T_c = 441,45 , N $, vamos determinar a tensão na corda $ T_{corda} $.
Como a barra está em equilíbrio vertical, a soma das forças verticais deve ser zero:
Vamos precisar também considerar as forças horizontais, mas por enquanto, focaremos nas verticais.
Passo 9
Substituindo os valores:
Para encontrar $ T_{corda} $, precisamos relacioná-la com $ T_c $. Vamos analisar a geometria do cabo.
Passo 10
O cabo forma um triângulo com as distâncias horizontais e verticais:
Podemos encontrar os componentes horizontal ($ T_{c_x}
T_{c_y} $) da tensão no cabo:
Passo 11
Agora, considerando as forças horizontais, a soma deve ser zero:
Voltando à equação das forças verticais:
Ainda precisamos relacionar $ F_{d_y} $.
Passo 12
A força na dobradiça tem componentes horizontais e verticais. Usando o equilíbrio das forças horizontais e verticais, podemos resolver para $ F_{d_y} $:
Mas também temos outra relação usando a força resultante na dobradiça:
No entanto, para simplificar, vamos assumir que a corda está balanceando as forças verticais:
Passo 13
Substituindo $ T_{corda} = 196,2 , N $ na equação das forças verticais:
Passo 14
Agora, resumindo as tensões:
(a) As tensões são:
Passo 15
Para a parte (b), a força que a dobradiça exerce sobre a barra tem componentes horizontal e vertical que calculamos:
Então, a força resultante na dobradiça é:
Resposta
(a) As tensões são:
(b) A força que a dobradiça exerce sobre a barra é aproximadamente $ 559,3 , N $.