Uma liga de cobre apresenta a seguinte relação entre sua resistência mecânica e dureza. Calcule com três algarismos significativos:
Resistência <br>
|
Dureza <br> Brinell |
---|---|
10 | 19,2 |
15 | 28,8 |
20 | 38,4 |
25 | 48,0 |
30 | 57,6 |
35 | 67,2 |
A expressão matemática da curva de variação de resistência (MPa) com a dureza Brinell.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a expressão matemática que relaciona a resistência mecânica (em MPa) com a dureza Brinell de uma liga de cobre. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses dois valores estão relacionados e usar uma análise de regressão linear para encontrar a equação que melhor descreve essa relação com três algarismos significativos.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os dados fornecidos:
Resistência (kgf/mm²) | Dureza Brinell |
---|---|
10 | 19,2 |
15 | 28,8 |
20 | 38,4 |
25 | 48,0 |
30 | 57,6 |
35 | 67,2 |
Vamos precisar converter a resistência de kgf/mm² para MPa. Sabemos que:
Essa conversão é importante para termos ambas as medidas na mesma unidade.
Passo 3
Vamos converter cada valor de resistência para MPa usando a fórmula acima:
Passo 4
Agora que temos ambas as variáveis na mesma unidade, vamos organizar os dados convertidos:
Resistência (MPa) | Dureza Brinell |
---|---|
98,067 | 19,2 |
147,100 | 28,8 |
196,133 | 38,4 |
245,166 | 48,0 |
294,200 | 57,6 |
343,233 | 67,2 |
Passo 5
Para encontrar a relação entre resistência e dureza Brinell, vamos assumir que a relação é linear, ou seja, podemos usar a equação da reta:
Onde:
- $ y $ é a resistência (MPa),
- $ x $ é a dureza Brinell,
- $ a $ é o coeficiente angular,
- $ b $ é o coeficiente linear.
Vamos precisar calcular $ a $ e $ b $ usando os dados fornecidos.
Passo 6
Para encontrar $ a $ e $ b $, usamos as fórmulas da regressão linear:
Onde $ n $ é o número de pontos de dados.
Passo 7
Vamos calcular os valores necessários:
Primeiro, listamos todos os produtos $ x \cdot y $ e $ x^2 $:
Agora, calculamos $ \sum x $, $ \sum y $, $ \sum xy $, $ \sum x^2 $:
Passo 8
Agora, aplicamos os valores na fórmula para $ a $:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então,
Passo 9
Agora, encontramos $ b $ usando a fórmula:
Calculando:
Passo 10
Agora que temos $ a $ e $ b $, podemos escrever a equação da reta que relaciona resistência mecânica com dureza Brinell:
Com três algarismos significativos, a expressão fica: