Uma liga de cobre apresenta a seguinte relação entre sua resistência mecânica e dureza. Calcule com três algarismos significativos:
Resistência <br> (k g f / m m^2) Dureza <br> Brinell
10 19,2
15 28,8
20 38,4
25 48,0
30 57,6
35 67,2
A expressão matemática da curva de variação de resistência (MPa) com a dureza Brinell.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a expressão matemática que relaciona a resistência mecânica (em MPa) com a dureza Brinell de uma liga de cobre. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses dois valores estão relacionados e usar uma análise de regressão linear para encontrar a equação que melhor descreve essa relação com três algarismos significativos.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os dados fornecidos:
Resistência (kgf/mm²) Dureza Brinell
10 19,2
15 28,8
20 38,4
25 48,0
30 57,6
35 67,2
Vamos precisar converter a resistência de kgf/mm² para MPa. Sabemos que:
1 , kgf/mm^2 = 9,80665 , MPa
Essa conversão é importante para termos ambas as medidas na mesma unidade.

Passo 3

Vamos converter cada valor de resistência para MPa usando a fórmula acima:
10 , kgf/mm^2 &= 10 times 9,80665 = 98,0665 , MPa 15 , kgf/mm^2 &= 15 times 9,80665 = 147,09975 , MPa 20 , kgf/mm^2 &= 20 times 9,80665 = 196,133 , MPa 25 , kgf/mm^2 &= 25 times 9,80665 = 245,16625 , MPa 30 , kgf/mm^2 &= 30 times 9,80665 = 294,19995 , MPa 35 , kgf/mm^2 &= 35 times 9,80665 = 343,23275 , MPa

Passo 4

Agora que temos ambas as variáveis na mesma unidade, vamos organizar os dados convertidos:
Resistência (MPa) Dureza Brinell
98,067 19,2
147,100 28,8
196,133 38,4
245,166 48,0
294,200 57,6
343,233 67,2

Passo 5

Para encontrar a relação entre resistência e dureza Brinell, vamos assumir que a relação é linear, ou seja, podemos usar a equação da reta:
y = a cdot x + b
Onde:
  • $ y $ é a resistência (MPa),
  • $ x $ é a dureza Brinell,
  • $ a $ é o coeficiente angular,
  • $ b $ é o coeficiente linear.
Vamos precisar calcular $ a $ e $ b $ usando os dados fornecidos.

Passo 6

Para encontrar $ a $ e $ b $, usamos as fórmulas da regressão linear:
a
b
Onde $ n $ é o número de pontos de dados.

Passo 7

Vamos calcular os valores necessários:
Primeiro, listamos todos os produtos $ x \cdot y $ e $ x^2 $:
x cdot y
Agora, calculamos $ \sum x $, $ \sum y $, $ \sum xy $, $ \sum x^2 $:
x^2
x1 &= 19,2, y1 = 98,067, x1 y1 = 19,2 times 98,067 = 1.881,274 x2 &= 28,8, y2 = 147,100, x2 y2 = 28,8 times 147,100 = 4.236,480 x3 &= 38,4, y3 = 196,133, x3 y3 = 38,4 times 196,133 = 7.536,659 x4 &= 48,0, y4 = 245,166, x4 y4 = 48,0 times 245,166 = 11.768,000 x5 &= 57,6, y5 = 294,200, x5 y5 = 57,6 times 294,200 = 16.959,720 x6 &= 67,2, y6 = 343,233, x6 y6 = 67,2 times 343,233 = 23.104,689
sum x
sum y

Passo 8

Agora, aplicamos os valores na fórmula para $ a $:
a
Calculando o numerador:
a = 6 times 65.466,822 - 258,0 times 1.323,7996 times 12.012,64 - (258,0)^2
6 times 65.466,822 = 392.800,932
258,0 times 1.323,799 = 341.277,342
Calculando o denominador:
Numerador = 392.800,932 - 341.277,342 = 51.523,590
6 times 12.012,64 = 72.075,84
(258,0)^2 = 66.564,0
Então,
Denominador = 72.075,84 - 66.564,0 = 5.511,84

Passo 9

Agora, encontramos $ b $ usando a fórmula:
b
Calculando:
b = sum y - a sum xn = 1.323,799 - 9,36 times 258,06
9,36 times 258,0 = 2.413,68
1.323,799 - 2.413,68 = -1.089,881

Passo 10

Agora que temos $ a $ e $ b $, podemos escrever a equação da reta que relaciona resistência mecânica com dureza Brinell:
a ê
Com três algarismos significativos, a expressão fica:
b ê

Resposta

Resistência (MPa) = 9,36 cdot Dureza Brinell - 182 ê

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