Uma extremidade de uma viga homogênea de 222 N de peso está presa por uma dobradiça a uma parede; a outra extremidade é sustentada por um fio que faz o mesmo ângulo theta=30,0^circ com a viga e com a parede. Determine a componente vertical da força que a dobradiça exerce sobre a viga.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma viga homogênea que pesa 222 N. Uma das extremidades dessa viga está presa a uma parede por uma dobradiça, e a outra extremidade é segurada por um fio que forma um ângulo de 30 graus tanto com a viga quanto com a parede. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a componente vertical da força que a dobradiça está exercendo sobre a viga.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática, que é parte da mecânica que estuda como objetos estão em equilíbrio quando as forças e torques se equilibram. Vamos precisar considerar as forças atuantes na viga e aplicar as condições de equilíbrio para encontrar a componente vertical da força na dobradiça.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na viga:
  1. Peso da viga §: 222 N, atuando no centro da viga para baixo.
  2. Força na dobradiça (F_dob): Tem duas componentes, horizontal (F_dob_x) e vertical (F_dob_y), que precisamos encontrar.
  3. Tensão no fio (T): O fio está fazendo um ângulo de 30° com a viga e com a parede. Essa tensão tem também componentes horizontal (T_x) e vertical (T_y).

Passo 3

Como a viga está em equilíbrio, a soma das forças horizontais e verticais deve ser zero, e a soma dos torques (ou momentos) também deve ser zero. Vamos expressar isso matematicamente:
  1. Equilíbrio horizontal:
    Fdobx + Tx = 0
  2. Equilíbrio vertical:
    Fdoby + Ty - P = 0
  3. Equilíbrio de torques: Vamos escolher a dobradiça como ponto de rotação para simplificar, já que as forças na dobradiça não produzem torque nesse ponto.
    P cdot L/2 - T cdot L cdot cos(theta) = 0
    Onde $ L $ é o comprimento da viga (que, na verdade, vai se cancelar na equação).

Passo 4

Agora, vamos resolver para a tensão no fio (T). A partir do equilíbrio de torques:
P cdot L2 = T cdot L cdot cos(theta)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ L $:
L
Então, isolando $ T $:
P2 = T cdot cos(theta)

Passo 5

Com a tensão $ T $ conhecida, podemos encontrar suas componentes horizontal e vertical:
T
Tx = T cos(theta) = 128,2, N times cos(30°) approx 128,2, N times 0,866 = 110,8, N

Passo 6

Agora, vamos usar o equilíbrio vertical para encontrar $ F_{dob_y} $:
Fdoby

Resposta

A componente vertical da força que a dobradiça exerce sobre a viga é aproximadamente 157,9 N para cima.

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