Em três regiões do espaço, o potencial elétrico é dado por
V(r)=c0, r= 2 R
Encontre o campo elétrico em todas as regiões.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre potencial elétrico em diferentes regiões do espaço e precisa encontrar o campo elétrico em cada uma dessas regiões. Basicamente, temos três áreas definidas para o potencial elétrico $ V® $ que depende da distância $ r $ do centro. Para resolver isso, vamos usar o relacionamento entre potencial elétrico e campo elétrico, que é fundamental na eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada região representa:
  1. Primeira Região ($ 0 \leq r < R $): Aqui, o potencial elétrico $ V® $ é zero.
  2. Segunda Região ($ R \leq r < 2R $): O potencial é dado por $ V® = \frac{V_0 r^2}{4 R^2} $.
  3. Terceira Região ($ r \geq 2R $): O potencial é constante e igual a $ V_0 $.
Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico $ \mathbf{E}® $ em cada uma dessas regiões.

Passo 3

Sabemos que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado ao potencial elétrico $ V $ pela relação:
E
Em coordenadas esféricas, e assumindo simetria radial, isso se simplifica para:
V
Então, para encontrar $ E® $, precisamos derivar $ V® $ em relação a $ r $ em cada região.

Passo 4

Vamos começar pela Primeira Região ($ 0 \leq r < R $):
0 <= r < R
Derivando em relação a $ r $:
V(r) = 0
Logo, o campo elétrico é:
r

Passo 5

Agora, para a Segunda Região ($ R \leq r < 2R $):
R <= r < 2R
Derivando em relação a $ r $:
V(r) = V0 r^24 R^2
Então, o campo elétrico é:
r

Passo 6

Finalmente, para a Terceira Região ($ r \geq 2R $):
r >= 2R
Derivando em relação a $ r $:
V(r) = V0
Portanto, o campo elétrico é:
r

Resposta

O campo elétrico $ E® $ em todas as regiões é:
E(r)

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