Em três regiões do espaço, o potencial elétrico é dado por
Encontre o campo elétrico em todas as regiões.
Encontre o campo elétrico em todas as regiões.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre potencial elétrico em diferentes regiões do espaço e precisa encontrar o campo elétrico em cada uma dessas regiões. Basicamente, temos três áreas definidas para o potencial elétrico $ V® $ que depende da distância $ r $ do centro. Para resolver isso, vamos usar o relacionamento entre potencial elétrico e campo elétrico, que é fundamental na eletrostática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada região representa:
- Primeira Região ($ 0 \leq r < R $): Aqui, o potencial elétrico $ V® $ é zero.
- Segunda Região ($ R \leq r < 2R $): O potencial é dado por $ V® = \frac{V_0 r^2}{4 R^2} $.
- Terceira Região ($ r \geq 2R $): O potencial é constante e igual a $ V_0 $.
Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico $ \mathbf{E}® $ em cada uma dessas regiões.
Passo 3
Sabemos que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado ao potencial elétrico $ V $ pela relação:
Em coordenadas esféricas, e assumindo simetria radial, isso se simplifica para:
Então, para encontrar $ E® $, precisamos derivar $ V® $ em relação a $ r $ em cada região.
Passo 4
Vamos começar pela Primeira Região ($ 0 \leq r < R $):
Derivando em relação a $ r $:
Logo, o campo elétrico é:
Passo 5
Agora, para a Segunda Região ($ R \leq r < 2R $):
Derivando em relação a $ r $:
Então, o campo elétrico é:
Passo 6
Finalmente, para a Terceira Região ($ r \geq 2R $):
Derivando em relação a $ r $:
Portanto, o campo elétrico é:
Resposta
O campo elétrico $ E® $ em todas as regiões é: