1. Dos extremos de um alinhamento \overline{\mathrm{AB}}, com extensão igual a 260,00 \mathrm{~m}, foi visado um ponto M , sendo medidos os seguintes ângulos: \mathrm{A} z \overline{\mathrm{AB}}=255^{\circ} 00^{\prime} ; \mathrm{A} z \overline{\mathrm{AM}}=135^{\circ} 00^{\prime} ; \mathrm{A} z \overline{\mathrm{M}} \overline{\mathrm{B}}=282^{\circ} 30^{\prime}. Conhecendo-se as coordenadas retangulares \mathrm{X}_{\mathrm{B}}=1500,00 \mathrm{~m} e \mathrm{Y}_{\mathrm{B}}=2000,00 \mathrm{~m}, pede-se calcular as coordenadas do ponto M .

Passo 1

O enunciado dá um alinhamento \overline{AB} de comprimento 260{,}00 m, com azimute de A para B igual a 255^\circ00'. A partir de A foram medidos os azimutes \mathrm{Az}\,\overline{AM}=135^\circ00' e, no ponto M, o azimute \mathrm{Az}\,\overline{MB}=282^\circ30'. Sabendo (X_B,Y_B)=(1500{,}00,2000{,}00), vamos:
  1. Determinar as coordenadas de A usando o vetor \overrightarrow{AB}.
  2. Expressar M em função de distâncias desconhecidas d_1=AM e d_2=MB e dos azimutes.
  3. Montar e resolver o sistema para d_1 e d_2.
  4. Calcular (X_M,Y_M).

Passo 2

Calculamos as coordenadas de A sabendo que
\overrightarrow{AB}=(\Delta X_{AB},\Delta Y_{AB}) = \bigl(L\sin\alpha,\;L\cos\alpha\bigr),
com L=260 m e \alpha=255^\circ. Logo,
\Delta X_{AB}=260\sin255^\circ,\quad \Delta Y_{AB}=260\cos255^\circ.
Numericamente,
\sin255^\circ=-0{,}9659258,\quad \cos255^\circ=-0{,}2588190,
\Delta X_{AB}=-251{,}14,\quad \Delta Y_{AB}=-67{,}29.
Como (X_B,Y_B)=(X_A+\Delta X_{AB},\,Y_A+\Delta Y_{AB}), temos
X_A = 1500{,}00 - (-251{,}14) = 1751{,}14, \quad Y_A = 2000{,}00 - (-67{,}29) = 2067{,}29.

Passo 3

Usamos parametrizações:
M = A + d_1(\sin135^\circ,\cos135^\circ), \quad B = M + d_2(\sin282{,}5^\circ,\cos282{,}5^\circ),
onde d_1=AM e d_2=MB. Assim,
(X_B-X_A,Y_B-Y_A) = d_1(\sin135^\circ,\cos135^\circ) + d_2(\sin282{,}5^\circ,\cos282{,}5^\circ).

Passo 4

Substituindo valores numéricos:
\sin135^\circ=0{,}7071068,\quad \cos135^\circ=-0{,}7071068,
\sin282{,}5^\circ=-0{,}9743701,\quad \cos282{,}5^\circ=0{,}2225204,
e (X_B-X_A,Y_B-Y_A)=(-251{,}14,\,-67{,}29), obtemos o sistema
\begin{cases} 0{,}7071068\,d_1 - 0{,}9743701\,d_2 = -251{,}14,\\\\ -0{,}7071068\,d_1 + 0{,}2225204\,d_2 = -67{,}29. \end{cases}

Passo 5

Somando as duas equações para eliminar d_1,
(-0{,}9743701+0{,}2225204)\,d_2 = -318{,}43 \quad\Longrightarrow\quad -0{,}7518497\,d_2 = -318{,}43
\Longrightarrow d_2 = 423{,}72\text{ m}.
Em seguida, de
0{,}7071068\,d_1 = -251{,}14 + 0{,}9743701\times423{,}72 = 161{,}44 \quad\Longrightarrow\quad d_1 = \frac{161{,}44}{0{,}7071068} = 228{,}40\text{ m}.

Passo 6

Finalmente, as coordenadas de M são
X_M = X_A + d_1\sin135^\circ = 1751{,}14 + 228{,}40\times0{,}7071068 = 1912{,}58,
Y_M = Y_A + d_1\cos135^\circ = 2067{,}29 + 228{,}40\times(-0{,}7071068) = 1905{,}85.

Resposta

X_M = 1912{,}58 m
Y_M = 1905{,}85 m

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