Uma partícula se move ao longo de uma reta horizontal de acordo com a equação s(t)=2 t^{3}-9 t^{2}+12 t (suponha que as distâncias positivas sejam dadas à direita e as negativas à esquerda). Determine os intervalos de tempo nos quais a partícula se move para a direita e para a esquerda. Determine também o instante no qual a partícula inverte seu sentido.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo horizontal por
s(t)=2\,t^{3}-9\,t^{2}+12\,t
e pede:
– os intervalos de tempo em que a partícula se move para a direita (velocidade positiva) e para a esquerda (velocidade negativa);
– o(s) instante(s) em que ela inverte seu sentido de movimento.
Para isso, vamos usar o conceito de velocidade como derivada da posição e estudar o sinal de v(t).

Passo 2

Calculamos a velocidade como derivada de s(t):
v(t)=s'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2\,t^{3}-9\,t^{2}+12\,t\bigr) =6\,t^{2}-18\,t+12.
Para fatorar, note que
6\,t^{2}-18\,t+12 =6\bigl(t^{2}-3\,t+2\bigr) =6\,(t-1)\,(t-2).

Passo 3

Os pontos em que v(t)=0 são as raízes do polinômio fatorado:
v(t)=0\quad\Longrightarrow\quad t-1=0\\ \text{ou}\\ t-2=0
logo
t=1 \quad\text{e}\quad t=2.
São esses valores que podem marcar inversões de sentido.

Passo 4

Vamos estudar o sinal de v(t)=6\,(t-1)\,(t-2) nos intervalos determinados por t=1 e t=2:
– Para t<1, por exemplo t=0: (t-1)<0 e (t-2)<0, produto (t-1)(t-2)>0, logo v(t)>0. Move-se para a direita.
– Para 1<t<2, por exemplo t=1{,}5: (t-1)>0 e (t-2)<0, produto negativo, logo v(t)<0. Move-se para a esquerda.
– Para t>2, por exemplo t=3: (t-1)>0 e (t-2)>0, produto positivo, logo v(t)>0. Move-se para a direita.

Resposta

A partícula se move
– para a direita quando t\in(-\infty,1)\cup(2,\infty) (considerando tempo físico t\ge0, fica t\in[0,1)\cup(2,\infty));
– para a esquerda quando t\in(1,2).
Ela inverte o sentido de movimento nos instantes t=1 e t=2.

Exercícios relacionados