Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão, com uma velocidade inicial de 64 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se o sentido positivo da distância do ponto de partida for para cima, a equação do movimento será s(t)=-16 t^{2}+64 t. Seja t o número de segundos decorridos desde que a bola foi atirada e s o número da distância percorrida pela bola a partir do ponto inicial em t segundos.
(a) Ache a velocidade instantânea da bola após 1 s . A bola está subindo ou descendo após 1 s ?
(b) Ache a velocidade instantânea da bola após 3 s. A bola está subindo ou descendo depois de 3 s ?
(c) Quantos segundos a bola leva para atingir o seu ponto mais alto?
(d) Qual a altura máxima atingida pela bola?
(e) Ache as velocidade escalares nos instantes t=1 e t=3.
(f) Decorridos quantos segundos a bola atinge o solo?
(g) Ache a velocidade instantânea da bola quando ela chega ao chão.

Passo 1

O enunciado dá a posição da bola em função do tempo como
s(t) = -16\,t^{2} + 64\,t
e pede várias informações sobre a velocidade instantânea, o ponto mais alto, o tempo de voo e a velocidade escalar (que é o módulo da velocidade). Vamos usar cálculo de derivadas para obter a velocidade genérica v(t), depois avaliar nos instantes pedidos e resolver equações quadráticas para achar tempos especiais.

Passo 2

Para obter a velocidade instantânea, derivamos s(t) em relação a t:
v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-16\,t^{2} + 64\,t\bigr) = -32\,t + 64.

Passo 3

(a) e (b) Avaliamos v(t) em t=1 e t=3:
v(1) = -32\cdot1 + 64 = 32\quad(\text{m/s}),
positivo, logo a bola ainda está subindo após 1 s.
v(3) = -32\cdot3 + 64 = -32\quad(\text{m/s}),
negativo, logo a bola está descendo após 3 s.

Passo 4

(c) O ponto mais alto ocorre quando a velocidade é zero:
0 = v(t) = -32\,t + 64 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{64}{32} = 2\\ (\text{s}).

Passo 5

(d) A altura máxima é s(2):
s(2) = -16\cdot2^{2} + 64\cdot2 = -64 + 128 = 64\\ (\text{m}).

Passo 6

(e) A velocidade escalar é o módulo de v(t). Assim,
|v(1)| = |32| = 32\\ (\text{m/s}), \qquad |v(3)| = |{-32}| = 32\\ (\text{m/s}).

Passo 7

(f) Para achar quando a bola atinge o solo, resolvemos s(t)=0:
-16\,t^{2} + 64\,t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t\bigl(-16\,t + 64\bigr)=0
Desprezamos t=0 (lançamento) e ficamos com
-16\,t + 64 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 4\\ (\text{s}).

Passo 8

(g) A velocidade instantânea ao chegar ao chão ( t=4) é
v(4) = -32\cdot4 + 64 = -128 + 64 = -64\\ (\text{m/s}).

Resposta

(a) v(1)=32 m/s, a bola está subindo.
(b) v(3)=-32 m/s, a bola está descendo.
(c) Atinge o ponto mais alto em t=2 s.
(d) Altura máxima =64 m.
(e) |v(1)|=32 m/s e |v(3)|=32 m/s.
(f) A bola atinge o solo em t=4 s.
(g) v(4)=-64 m/s.

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