1. (Aplicação de Extremos) Um produto tem lucro L(x)=-x^{3}+9 x^{2}- 24 x+10, onde x é o número de unidades produzidas.
    [ label =(\mathrm{b})]
    (a) Para que valor de x o lucro é máximo?
    (b) Qual é o lucro máximo?

Passo 1

O enunciado dá o lucro como função do número de unidades produzidas:
L(x) = -x^{3} + 9x^{2} - 24x + 10,
onde x é o número de unidades produzidas. O enunciado faz duas perguntas:
(a) Para que valor de x o lucro é máximo?
(b) Qual é o lucro máximo?
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
  • A função do lucro é \;L(x)=-x^{3}+9x^{2}-24x+10.\n
  • Como x representa número de unidades produzidas, logicamente temos a restrição \;x\ge 0 (não faz sentido produzir número negativo de unidades). \n
    A resolução começa a seguir.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática). \n
Para encontrar máximos e mínimos de uma função real suave, usamos a derivada: \n
  • A derivada L'(x) mede a taxa de variação instantânea do lucro quando aumentamos x. Zeros de L'(x) (pontos críticos) são candidatos a extremos (máximo, mínimo ou ponto de inflexão). \n
  • Para classificar um ponto crítico usamos a segunda derivada L''(x): se L''(x_0)<0 então x_0 é um máximo local; se L''(x_0)>0 é um mínimo local. \n
    Também temos que comparar os valores da função nos candidatos (pontos críticos no domínio e nas bordas do domínio) para achar o máximo global. \n
    Agora vamos calcular as derivadas.

Passo 3

Calcular a primeira derivada L'(x) e achar pontos críticos. \n
Usando regras básicas de derivação (derivada de x^{n} é n x^{n-1}, derivada de constante é 0), temos:
L'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}+9x^{2}-24x+10\bigr) = -3x^{2} + 18x - 24.
Fatorando para facilitar a solução de L'(x)=0:
L'(x) = -3\bigl(x^{2}-6x+8\bigr) = -3(x-2)(x-4).
Portanto os pontos críticos são as raízes:
x=2\quad\text{e}\quad x=4.

Passo 4

Calcular a segunda derivada L''(x) e usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos. \n
Derivando L'(x):
L''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}+18x-24\bigr) = -6x + 18 = -6(x-3).
Agora avaliamos em cada ponto crítico:
L''(2) = -6(2-3) = -6(-1) = 6 > 0,
logo x=2 é um mínimo local. \n
L''(4) = -6(4-3) = -6(1) = -6 < 0,
logo x=4 é um máximo local.

Passo 5

Como queremos o lucro máximo no domínio fisicamente válido \;x\ge 0, devemos comparar os valores de L em: \n
  • os pontos críticos dentro do domínio (aqui x=2 e x=4 ambos \ge0), e \n
  • as bordas do domínio relevante (a borda é x=0; no infinito L(x)\to -\infty pois o termo dominante é -x^{3}). \n
    Calculemos L nesses pontos:
Avaliar em x=0:
L(0) = -0 + 0 - 0 + 10 = 10.
Avaliar em x=2 (pegando valor da função):
L(2) = -(2)^{3} + 9(2)^{2} - 24(2) + 10 = -8 + 36 - 48 + 10.
Fazendo as somas passo a passo: -8+36=28, 28-48=-20, -20+10=-10. Logo
L(2) = -10.
Avaliar em x=4:
L(4) = -(4)^{3} + 9(4)^{2} - 24(4) + 10 = -64 + 144 - 96 + 10.
Somando: -64+144=80, 80-96=-16, -16+10=-6. Logo
L(4) = -6.

Passo 6

Comparação dos valores para determinar o máximo global no domínio \;x\ge 0. \n
Temos os valores:
L(0)=10,\quad L(2)=-10,\quad L(4)=-6.
Desses, o maior é 10, obtido em x=0. Portanto o máximo global no domínio fisicamente relevante \;x\ge 0 ocorre em x=0 e o lucro máximo é L(0)=10. \n
Observação interpretativa (útil para a prova): há um máximo local em x=4 (com L(4)=-6), mas esse máximo local não é o máximo global porque L(0)=10 é maior. Embora pareça estranho economicamente (lucro maior produzindo nada), essa é a consequência da função dada: parece haver um ganho de 10 mesmo sem produzir, talvez representando alguma receita fixa ou subsídio no modelo matemático.

Resposta

(a) x=0
(b) L_{\max}=10

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