- (Aplicação de Extremos) Um produto tem lucro
, onde
é o número de unidades produzidas.
label
(a) Para que valor de
o lucro é máximo?
(b) Qual é o lucro máximo?
(a) Para que valor de
(b) Qual é o lucro máximo?
Passo 1
O enunciado dá o lucro como função do número de unidades produzidas:
onde
é o número de unidades produzidas. O enunciado faz duas perguntas:
(a) Para que valor de o lucro é máximo?
(b) Qual é o lucro máximo?
(a) Para que valor de
(b) Qual é o lucro máximo?
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
- A função do lucro é
.\n - Como
representa número de unidades produzidas, logicamente temos a restrição (não faz sentido produzir número negativo de unidades). \n
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática). \n
Para encontrar máximos e mínimos de uma função real suave, usamos a derivada: \n
Para encontrar máximos e mínimos de uma função real suave, usamos a derivada: \n
- A derivada
mede a taxa de variação instantânea do lucro quando aumentamos . Zeros de (pontos críticos) são candidatos a extremos (máximo, mínimo ou ponto de inflexão). \n - Para classificar um ponto crítico usamos a segunda derivada
: se então é um máximo local; se é um mínimo local. \n
Também temos que comparar os valores da função nos candidatos (pontos críticos no domínio e nas bordas do domínio) para achar o máximo global. \n
Agora vamos calcular as derivadas.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
e achar pontos críticos. \n
Usando regras básicas de derivação (derivada de é
, derivada de constante é
), temos:
Usando regras básicas de derivação (derivada de
Fatorando para facilitar a solução de
:
Portanto os pontos críticos são as raízes:
Passo 4
Calcular a segunda derivada
e usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos. \n
Derivando :
Derivando
Agora avaliamos em cada ponto crítico:
logo
é um mínimo local. \n
logo
é um máximo local.
Passo 5
Como queremos o lucro máximo no domínio fisicamente válido
, devemos comparar os valores de
em: \n
- os pontos críticos dentro do domínio (aqui
e ambos ), e \n - as bordas do domínio relevante (a borda é
; no infinito pois o termo dominante é ). \n
Calculemosnesses pontos:
Avaliar em
:
Avaliar em
(pegando valor da função):
Fazendo as somas passo a passo:
,
,
. Logo
Avaliar em
:
Somando:
,
,
. Logo
Passo 6
Comparação dos valores para determinar o máximo global no domínio
. \n
Temos os valores:
Temos os valores:
Desses, o maior é
, obtido em
. Portanto o máximo global no domínio fisicamente relevante
ocorre em
e o lucro máximo é
. \n
Observação interpretativa (útil para a prova): há um máximo local em (com
), mas esse máximo local não é o máximo global porque
é maior. Embora pareça estranho economicamente (lucro maior produzindo nada), essa é a consequência da função dada: parece haver um ganho de
mesmo sem produzir, talvez representando alguma receita fixa ou subsídio no modelo matemático.
Observação interpretativa (útil para a prova): há um máximo local em
Resposta
(a)
(b)
(b)