Aplicação pedida: com G(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt, x>0, mostrar que G'(x)=\frac{1}{x}.
Passo 2
Definição de derivada que vamos usar: para uma função F a derivada em x é o limite
F'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h},
desde que esse limite exista. Vamos aplicar isso a F(x)=\int_{c}^{x} f(t)\,dt. Usando a propriedade de aditividade do integral, para qualquer h tal que x+h\in[a,b] vale
Agora usamos a continuidade de f em x. Recordando o que significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |t-x|<\delta, então |f(t)-f(x)|<\varepsilon. Escolha \varepsilon>0 arbitrário e tome o correspondente \delta>0. Para |h|<\delta todos os t do intervalo entre x e x+h satisfazem |t-x|\le |h|<\delta, então |f(t)-f(x)|<\varepsilon para esses t.
Passo 4
Estime a diferença entre o quociente e f(x). Começamos por escrever
Comentário alternativo (intuição / outro método): pela continuidade de f no pequeno intervalo [x,x+h] (ou [x+h,x] se h<0) vale o Teorema do Valor Médio para integrais: existe \xi entre x e x+h tal que
\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt = f(\xi)\,h.
Então o quociente é f(\xi) e, como \xi\to x quando h\to 0 e f é contínua, segue f(\xi)\to f(x). Isso dá a mesma conclusão F'(x)=f(x).
Passo 7
Aplicação ao caso dado: tome G(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt com x>0. A função f(t)=\frac{1}{t} é contínua em qualquer intervalo que não contenha 0; como para x>0 o segmento entre 1 e x está contido em (0,\infty), podemos aplicar o resultado anterior com c=1. Assim, para todo x>0,