Se f é contínua em [a, b] e a \leq x \leq b, então para todo x \in[a, b], mostre que \frac{d}{d x}\left(\int_{c}^{x} f(t) d t\right)=f(x).
Como Aplicação deste exercício mostre se G(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t, x>0. Mostre que G^{\prime}(x)=\frac{1}{x}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Dado f contínua em [a,b].
  • Existe um ponto fixo c em [a,b] (constante) e consideramos a função
F(x)=\int_{c}^{x} f(t)\,dt
para x\in[a,b].
  • A tarefa principal: mostrar que, para todo x\in[a,b],
\frac{d}{dx}\left(\int_{c}^{x} f(t)\,dt\right)=f(x).
  • Aplicação pedida: com G(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt, x>0, mostrar que G'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 2

Definição de derivada que vamos usar: para uma função F a derivada em x é o limite
F'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h},
desde que esse limite exista. Vamos aplicar isso a F(x)=\int_{c}^{x} f(t)\,dt. Usando a propriedade de aditividade do integral, para qualquer h tal que x+h\in[a,b] vale
F(x+h)-F(x)=\int_{c}^{x+h} f(t)\,dt-\int_{c}^{x} f(t)\,dt=\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.
Logo a diferença quociente fica
\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.

Passo 3

Agora usamos a continuidade de f em x. Recordando o que significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |t-x|<\delta, então |f(t)-f(x)|<\varepsilon. Escolha \varepsilon>0 arbitrário e tome o correspondente \delta>0. Para |h|<\delta todos os t do intervalo entre x e x+h satisfazem |t-x|\le |h|<\delta, então |f(t)-f(x)|<\varepsilon para esses t.

Passo 4

Estime a diferença entre o quociente e f(x). Começamos por escrever
\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt - f(x) = \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}\big(f(t)-f(x)\big)\,dt.
Tomando valor absoluto e usando que \left|\int_{I} g\right|\le \int_{I} |g|, obtemos
\left|\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt - f(x)\right| \le \frac{1}{|h|}\int_{I} |f(t)-f(x)|\,dt,
onde I é o intervalo entre x e x+h. Como para t\in I temos |f(t)-f(x)|<\varepsilon, segue
\frac{1}{|h|}\int_{I} |f(t)-f(x)|\,dt \le \frac{1}{|h|}\cdot |h|\cdot \varepsilon = \varepsilon.
Portanto, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se |h|<\delta então
\left|\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt - f(x)\right|<\varepsilon.

Passo 5

A desigualdade do Passo 4 mostra exatamente que
\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt = f(x).
Pelo Passo 2 isso é o mesmo que
\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x),
ou seja, F é diferenciável em x e
F'(x)=f(x).
Isto prova a afirmação geral: para toda x\in[a,b],
\frac{d}{dx}\left(\int_{c}^{x} f(t)\,dt\right)=f(x).

Passo 6

Comentário alternativo (intuição / outro método): pela continuidade de f no pequeno intervalo [x,x+h] (ou [x+h,x] se h<0) vale o Teorema do Valor Médio para integrais: existe \xi entre x e x+h tal que
\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt = f(\xi)\,h.
Então o quociente é f(\xi) e, como \xi\to x quando h\to 0 e f é contínua, segue f(\xi)\to f(x). Isso dá a mesma conclusão F'(x)=f(x).

Passo 7

Aplicação ao caso dado: tome G(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt com x>0. A função f(t)=\frac{1}{t} é contínua em qualquer intervalo que não contenha 0; como para x>0 o segmento entre 1 e x está contido em (0,\infty), podemos aplicar o resultado anterior com c=1. Assim, para todo x>0,
G'(x)=\frac{1}{x}.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\int_{c}^{x} f(t)\,dt\right)=f(x)
\displaystyle G'(x)=\frac{1}{x}

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