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Se
é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais
e
são função s de duas variáveis, de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais
, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de
. Para a função abaixo, calcule
e
:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem
e
.
Informações relevantes dadas:
- A função dependente de duas variáveis é
. - Deve-se encontrar
e .
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma concreta):
- Derivada parcial em relação a
: ao derivar trata-se como constante. Analogamente para . - Regra do produto (para funções de
e ): se , então
- Regra da cadeia (para composição): se
, então
No nosso caso aparece
e
, cujas derivadas são
e
.
Para simplificar a escrita, defino
. Assim
e
,
.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
Começo de
:
Aplicando a regra do produto
:
- Derivada de
em relação a é , então a primeira parcela é . - A segunda parcela é
vezes a derivada de em relação a . Pela regra da cadeia,
Portanto
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Temos
Derivo termo a termo:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a . Aqui é constante, então é função de . Uso a regra do produto para :
Calculando as partes:
Logo
Como em
esse termo aparece com sinal negativo, a derivada de
é
Somando as duas parcelas:
Substituindo
,
Passo 5
Calcular
passo a passo.
Começo de
:
Aqui
é tratado como constante ao derivar em relação a
. Aplicando a regra da cadeia:
E
. Portanto
Passo 6
Calcular
passo a passo.
Temos
Factor constante
(lembrando que
é constante aqui):
Derivo
usando produto:
Como
, obtemos
Multiplicando pelo fator
:
Substituindo
,