1. (0,5) Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais f_{x} e f_{y} são função s de duas variáveis, de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais \left(f_{x}\right)_{x}=f_{x x},\left(f_{x}\right)_{y}= f_{x y},\left(f_{y}\right)_{x}=f_{y x} \mathrm{e}\left(f_{y}\right)_{y}=f_{y y}, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f. Para a função abaixo, calcule f_{x x} e f_{y y} :
f(x, y)=x \cos \left(x y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=x\cos\bigl(xy^{2}\bigr)
e pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem \,f_{xx} e \,f_{yy}.
Informações relevantes dadas:
  • A função dependente de duas variáveis é f(x,y)=x\cos\bigl(xy^{2}\bigr).
  • Deve-se encontrar \,f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} e \,f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma concreta):
  • Derivada parcial em relação a x: ao derivar \dfrac{\partial}{\partial x} trata-se y como constante. Analogamente para \dfrac{\partial}{\partial y}.
  • Regra do produto (para funções de x e y): se g(x,y)=u(x,y)\,v(x,y), então
\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
  • Regra da cadeia (para composição): se h(x,y)=\varphi\bigl(u(x,y)\bigr), então
\frac{\partial h}{\partial x}=\varphi'\bigl(u(x,y)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial x}.
No nosso caso aparece \cos e \sin, cujas derivadas são \dfrac{d}{du}\cos u=-\sin u e \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u.
Para simplificar a escrita, defino u(x,y)=x y^{2}. Assim \cos\bigl(xy^{2}\bigr)=\cos\bigl(u\bigr) e \dfrac{\partial u}{\partial x}=y^{2}, \dfrac{\partial u}{\partial y}=2xy.

Passo 3

Calcular \,f_{x} passo a passo.
Começo de f:
f(x,y)=x\cos\bigl(u\bigr),\qquad u=x y^{2}.
Aplicando a regra do produto \dfrac{\partial}{\partial x}(x\cdot\cos u):
  • Derivada de x em relação a x é 1, então a primeira parcela é \cos u.
  • A segunda parcela é x vezes a derivada de \cos u em relação a x. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\cos u = -\sin u\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = -\sin u\cdot y^{2}.
Portanto
f_{x}=\cos u + x\bigl(-\sin u\cdot y^{2}\bigr)=\cos\bigl(xy^{2}\bigr)-x y^{2}\sin\bigl(xy^{2}\bigr).

Passo 4

Calcular \,f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_{x}) passo a passo.
Temos
f_{x}=\cos\bigl(u\bigr)-x y^{2}\sin\bigl(u\bigr).
Derivo termo a termo:
  1. Derivada de \cos u em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\cos u = -\sin u\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = -\sin\bigl(xy^{2}\bigr)\cdot y^{2}.
  1. Derivada de -x y^{2}\sin u em relação a x. Aqui y é constante, então x y^{2} é função de x. Uso a regra do produto para (x y^{2})\cdot\sin u:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x y^{2}\sin u\bigr) = \frac{\partial}{\partial x}(x y^{2})\cdot\sin u + (x y^{2})\cdot\frac{\partial}{\partial x}\sin u.
Calculando as partes:
\frac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\sin u=\cos u\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=\cos u\cdot y^{2}.
Logo
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x y^{2}\sin u\bigr)=y^{2}\sin u + x y^{2}\cdot(\cos u\cdot y^{2})=y^{2}\sin u + x y^{4}\cos u.
Como em f_{x} esse termo aparece com sinal negativo, a derivada de -x y^{2}\sin u é
-\bigl(y^{2}\sin u + x y^{4}\cos u\bigr)=-y^{2}\sin u - x y^{4}\cos u.
Somando as duas parcelas:
f_{xx}=\bigl(-y^{2}\sin u\bigr)+\bigl(-y^{2}\sin u - x y^{4}\cos u\bigr)=-2y^{2}\sin u - x y^{4}\cos u.
Substituindo u=x y^{2},
f_{xx}=-2y^{2}\sin\bigl(xy^{2}\bigr)-x y^{4}\cos\bigl(xy^{2}\bigr).

Passo 5

Calcular \,f_{y} passo a passo.
Começo de f:
f(x,y)=x\cos\bigl(u\bigr),\qquad u=x y^{2}.
Aqui x é tratado como constante ao derivar em relação a y. Aplicando a regra da cadeia:
f_{y}=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\cos u = x\cdot\bigl(-\sin u\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
E \dfrac{\partial u}{\partial y}=2xy. Portanto
f_{y}=x\cdot\bigl(-\sin u\bigr)\cdot(2xy)=-2x^{2}y\sin\bigl(xy^{2}\bigr).

Passo 6

Calcular \,f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_{y}) passo a passo.
Temos
f_{y}=-2x^{2}y\sin u, \qquad u=x y^{2}.
Factor constante -2x^{2} (lembrando que x é constante aqui):
f_{y}=-2x^{2}\cdot\bigl(y\sin u\bigr).
Derivo \dfrac{\partial}{\partial y}(y\sin u) usando produto:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\sin u\bigr)=1\cdot\sin u + y\cdot\frac{\partial}{\partial y}\sin u =\sin u + y\cdot(\cos u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Como \dfrac{\partial u}{\partial y}=2xy, obtemos
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\sin u\bigr)=\sin u + y\cdot\cos u\cdot(2xy)=\sin u + 2x y^{2}\cos u.
Multiplicando pelo fator -2x^{2}:
f_{yy}=-2x^{2}\bigl(\sin u + 2x y^{2}\cos u\bigr)=-2x^{2}\sin u -4x^{3}y^{2}\cos u.
Substituindo u=x y^{2},
f_{yy}=-2x^{2}\sin\bigl(xy^{2}\bigr)-4x^{3}y^{2}\cos\bigl(xy^{2}\bigr).

Resposta

f_{xx}=-2y^{2}\sin\bigl(xy^{2}\bigr)-x y^{4}\cos\bigl(xy^{2}\bigr)\n
f_{yy=-2x^{2}\sin\bigl(xy^{2}\bigr)-4x^{3}y^{2}\cos\bigl(xy^{2}\bigr)}

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