(\mathbf{0 , 5}) Resolva as equações diferenciais dadas sujeitas à condição inicial indicada.
y^{\prime} \operatorname{sen} x+y \cos x=2 \cos x \operatorname{sen} x
y(0)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte equação diferencial com condição inicial:
y'(x)\sin x + y(x)\cos x = 2\cos x\sin x, \qquad y(0)=-1.
Informações relevantes que temos:
  • A equação está multiplicada por \sin x, então pontos onde \sin x=0 (por exemplo x=0) são pontos singulares do formato "dividido por \sin x".
  • A condição inicial é dada em x=0, exatamente um ponto onde \sin 0=0.
  • O enunciado pede resolver a EDO sujeita a essa condição inicial (isto é, encontrar uma função y(x) que satisfaça a EDO e y(0)=-1).

Passo 2

Vou transformar a equação para reconhecer uma derivada total usando uma técnica simples (fórmula do fator integrante de primeira ordem, explicada abaixo). A equação é
y'\sin x + y\cos x = 2\cos x\sin x.
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \sin x\cdot y(x), porque
\frac{d}{dx}\big(\sin x\cdot y(x)\big) = (\sin x) y'(x) + (\cos x) y(x).
Este é um truque importante: quando se vê um termo \sin x\,y' e um termo \cos x\,y, é natural testar se formam (\sin x\,y)'. Esse teste é a ideia do fator integrante: escolher \mu(x) tal que \mu y tenha derivada simples; aqui \mu(x)=\sin x.
Usando essa observação, a EDO vira uma equação mais simples:
\frac{d}{dx}\big(\sin x\cdot y(x)\big) = 2\sin x\cos x.

Passo 3

Integramos ambos os lados em x. À direita temos uma função trigonométrica simples:
\int 2\sin x\cos x\,dx = \int \sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x) + C,
onde C é a constante de integração. Assim,
\sin x\cdot y(x) = -\tfrac{1}{2}\cos(2x) + C.
Isolando y(x) (válido para pontos onde \sin x\neq 0):
y(x) = \frac{-\tfrac{1}{2}\cos(2x) + C}{\sin x}.
Essa é a forma geral das soluções em qualquer intervalo onde \sin x\neq 0. Alternativamente, usando identidade trigonométrica, se escolhermos C=\tfrac{1}{2} obtemos uma solução mais simples: com C=\tfrac{1}{2},
-\tfrac{1}{2}\cos(2x)+\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}\big(1-\cos(2x)\big)=\sin^2 x,
portanto
y(x)=\frac{\sin^2 x}{\sin x}=\sin x,
ou seja y(x)=\sin x é uma solução válida (ela também estende continuamente para x onde \sin x=0, com valor 0 nesses pontos).

Passo 4

Agora precisamos aplicar a condição inicial y(0)=-1. Antes disso é importante discutir domínio e compatibilidade:
  • A dedução que levou a y(x)=\dfrac{-\tfrac{1}{2}\cos(2x)+C}{\sin x} foi feita dividindo implicitamente por \sin x ao isolar y. Essa expressão só é diretamente válida para x com \sin x\neq 0.
  • No entanto, a forma integrada \sin x\,y(x) = -\tfrac{1}{2}\cos(2x)+C é verdadeira em qualquer intervalo onde a integração foi feita (mas avaliar em pontos com \sin x=0 exige cuidado: o lado esquerdo é 0\cdot y(0)=0 se a igualdade for exigida no ponto).
  • É útil verificar o que a equação original impõe exatamente no ponto x=0. Substituindo x=0 na equação original:
y'(0)\sin 0 + y(0)\cos 0 = 2\cos 0\sin 0
isso é
0\cdot y'(0) + y(0)\cdot 1 = 0,
logo qualquer solução que satisfaça a equação diferencial também deve satisfazer
y(0)=0.
Ou seja, o próprio enunciado da EDO força y(0)=0.

Passo 5

Há uma incompatibilidade entre a condição imposta pela EDO no ponto x=0 e a condição inicial dada: a EDO exige y(0)=0, enquanto a condição inicial pede y(0)=-1. Portanto não existe função y que satisfaça simultaneamente a equação diferencial (no sentido de satisfazer a igualdade no ponto x=0) e y(0)=-1.
Também dá para ver isso a partir da solução geral: para que y(x) tenha limite finito em x\to 0 a constante C deve ser escolhida para anular o numerador em x=0, isto é C-\tfrac{1}{2}=0, ou C=\tfrac{1}{2}. Essa escolha dá y(x)=\sin x e y(0)=0. Não há escolha de C que produza y(0)=-1; com qualquer outro C a função dada por \dfrac{-\tfrac{1}{2}\cos(2x)+C}{\sin x} diverge quando x\to 0.

Passo 6

Resumo das possibilidades concretas:
  • A família geral de soluções (em intervalos onde \sin x\neq 0) é
y(x)=\frac{-\tfrac{1}{2}\cos(2x)+C}{\sin x}.
  • A única solução que se estende continuamente e satisfaz a equação nos pontos onde \sin x=0 é y(x)=\sin x (correspondente a C=\tfrac{1}{2}), e essa solução tem y(0)=0.
  • Como a condição inicial exige y(0)=-1, não há solução que satisfaça a equação diferencial (incluindo no ponto x=0) e a condição dada.

Resposta

Não existe solução que satisfaça simultaneamente a equação diferencial e a condição inicial y(0)=-1.

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