Resolva as equações diferenciais dadas sujeitas à condição inicial indicada.
Passo 1
O enunciado nos dá a seguinte equação diferencial com condição inicial:
Informações relevantes que temos:
- A equação está multiplicada por
, então pontos onde (por exemplo ) são pontos singulares do formato "dividido por ". - A condição inicial é dada em
, exatamente um ponto onde . - O enunciado pede resolver a EDO sujeita a essa condição inicial (isto é, encontrar uma função
que satisfaça a EDO e ).
Passo 2
Vou transformar a equação para reconhecer uma derivada total usando uma técnica simples (fórmula do fator integrante de primeira ordem, explicada abaixo). A equação é
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Este é um truque importante: quando se vê um termo
e um termo
, é natural testar se formam
. Esse teste é a ideia do fator integrante: escolher
tal que
tenha derivada simples; aqui
.
Usando essa observação, a EDO vira uma equação mais simples:
Passo 3
Integramos ambos os lados em
. À direita temos uma função trigonométrica simples:
onde
é a constante de integração. Assim,
Isolando
(válido para pontos onde
):
Essa é a forma geral das soluções em qualquer intervalo onde
. Alternativamente, usando identidade trigonométrica, se escolhermos
obtemos uma solução mais simples: com
,
portanto
ou seja
é uma solução válida (ela também estende continuamente para
onde
, com valor
nesses pontos).
Passo 4
Agora precisamos aplicar a condição inicial
. Antes disso é importante discutir domínio e compatibilidade:
- A dedução que levou a
foi feita dividindo implicitamente por ao isolar . Essa expressão só é diretamente válida para com . - No entanto, a forma integrada
é verdadeira em qualquer intervalo onde a integração foi feita (mas avaliar em pontos com exige cuidado: o lado esquerdo é se a igualdade for exigida no ponto). - É útil verificar o que a equação original impõe exatamente no ponto
. Substituindo na equação original:
isso é
logo qualquer solução que satisfaça a equação diferencial também deve satisfazer
Ou seja, o próprio enunciado da EDO força
.
Passo 5
Há uma incompatibilidade entre a condição imposta pela EDO no ponto
e a condição inicial dada: a EDO exige
, enquanto a condição inicial pede
. Portanto não existe função
que satisfaça simultaneamente a equação diferencial (no sentido de satisfazer a igualdade no ponto
) e
.
Também dá para ver isso a partir da solução geral: para que
tenha limite finito em
a constante
deve ser escolhida para anular o numerador em
, isto é
, ou
. Essa escolha dá
e
. Não há escolha de
que produza
; com qualquer outro
a função dada por
diverge quando
.
Passo 6
Resumo das possibilidades concretas:
- A família geral de soluções (em intervalos onde
) é
- A única solução que se estende continuamente e satisfaz a equação nos pontos onde
é (correspondente a ), e essa solução tem . - Como a condição inicial exige
, não há solução que satisfaça a equação diferencial (incluindo no ponto ) e a condição dada.
Resposta
Não existe solução que satisfaça simultaneamente a equação diferencial e a condição inicial
.