Encontrar o raio de convergência da série (ou seja, o valor R tal que a série converge para |x-3|<R e diverge para |x-3|>R).
Determinar o intervalo de convergência (ou seja, quais pontos nos extremos \,x=3\pm R\, pertencem ou não à convergência).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O termo geral da série (como função de n e x) é \displaystyle a_n(x)=\frac{2^{n}(x-3)^{n}}{\sqrt{n+3}}.
A série é uma série de potências em (x-3) com coeficientes \displaystyle c_n=\frac{2^{n}}{\sqrt{n+3}}.
Passo 2
Explicando a técnica que vamos usar (uma mini-aula): para séries de potências é comum usar o teste da razão (ou o teste da raiz) para obter o raio de convergência. O teste da razão, numa série com termos a_n(x), diz que se
existe, então a série converge quando L<1 e diverge quando L>1. Aplicado a uma série de potências em (x-3), esse limite normalmente é uma expressão do tipo \text{const}\cdot|x-3|; a condição L<1 fornece então um intervalo |x-3|<R e determina R. Vou aplicar o teste da razão passo a passo (explicando cada operação) para achar R.
Passo 3
Calcular a razão entre termos consecutivos em módulo:
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Observação: \sqrt{\dfrac{n+3}{n+4}}\to 1 quando n\to\infty porque numerador e denominador têm a mesma ordem. Portanto
Falta verificar o que acontece nos pontos extremos x=3\pm\tfrac{1}{2} (porque o teste da razão é inconclusivo quando 2|x-3|=1). Vamos testar cada extremo separadamente.
Passo 5
Teste do extremo direito x=3+\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2}.
Essa série é uma série de termos positivos com termo geral \sim \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Comparando com a série \sum n^{-1/2} (uma p-série com p=\tfrac{1}{2}\le1), sabemos que diverge. Formalmente, \dfrac{1}{\sqrt{n+3}} não é summável porque \sum n^{-1/2} diverge. Logo a série diverge em x=\tfrac{7}{2}. Portanto o extremo direito não pertence ao conjunto de convergência.
Passo 6
Teste do extremo esquerdo x=3-\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}.
Aqui temos uma série alternada com termos em módulo b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+3}}. Vamos aplicar o teste de Leibniz (teste da série alternada), que diz: se b_n é uma sequência positiva, monótona decrescente e tendendo a 0, então \sum (-1)^n b_n converge.
Verificar que b_n\to 0: claramente \dfrac{1}{\sqrt{n+3}}\to 0 quando n\to\infty.
Verificar que b_n é decrescente: para n\ge0, b_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+4}}<\dfrac{1}{\sqrt{n+3}}=b_n. Logo é monotonicamente decrescente.
Portanto, pela regra de Leibniz, a série converge em x=\tfrac{5}{2}. Entretanto, a convergência não é absoluta, porque os termos absolutos formam \sum b_n=\sum 1/\sqrt{n+3}, que já vimos divergir. Assim a convergência em x=\tfrac{5}{2} é condicional.
Passo 7
Conclusão final juntando tudo:
Raio de convergência R=\tfrac{1}{2}.
A série converge para |x-3|<\tfrac{1}{2}.
No extremo esquerdo x=\tfrac{5}{2} a série converge (condicionalmente).
No extremo direito x=\tfrac{7}{2} a série diverge.
Resposta
R=\tfrac{1}{2}
Intervalo de convergência: \left[\tfrac{5}{2},\,\tfrac{7}{2}\right)