Se f e g são funções inversas uma da outra e se f é diferenciável em seu domínio, então g também deve ser diferenciável em seu domínio? Dê um argumento razoável informal para corroborar sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: f e g são funções inversas uma da outra, ou seja, para todo x em que as composições façam sentido vale
g(f(x))=x\quad\text{e}\quad f(g(y))=y.
  • Informação: f é diferenciável em seu domínio.
  • Pergunta: isso implica que g também precise ser diferenciável em seu domínio?

Passo 2

Vamos lembrar o que significam as coisas, de forma bem direta e prática.
  • Diferenciabilidade em um ponto a diz que existe a aproximação linear
f(a+h)=f(a)+f'(a)\,h+o(h)\quad(h\to0),
onde o(h) significa uma quantidade que, dividida por h, tende a zero quando h\to0. Em palavras: perto de a, f se comporta como a reta f(a)+f'(a)(x-a) mais um erro que é pequeno em relação a x-a.
  • Se g é a inversa de f então, para b=f(a), temos g(b)=a e mais geralmente g(f(a+h))=a+h.

Passo 3

Idéia heurística do porquê a diferencial de g pode (ou não) existir.
  • Se a aproximação linear de f em a for uma reta com inclinação diferente de zero, essa reta é invertível localmente, então a inversa de f deve ter também uma aproximação linear (a inversa da reta), cujo coeficiente é o recíproco da inclinação. Isso sugere que, quando f'(a)\neq0, a inversa g é diferenciável em b=f(a) e
g'(b)=\frac{1}{f'(a)}.
  • Porém, se f'(a)=0, a aproximação linear de f em a é horizontal (reta de inclinação zero) e essa reta não é invertível; daí a aproximação linear não fornece uma inversa linear, e pode acontecer que g não seja diferenciável em b.

Passo 4

Uma justificativa informal (mas razoável) do caso f'(a)\neq0.
  • Escrevendo a aproximação de f em a:
f(a+h)=f(a)+f'(a)h+r(h),
com r(h)/h\to0 quando h\to0.
  • Defina k=f(a+h)-f(a). Então
k=f'(a)h+r(h).
Se f'(a)\neq0, podemos resolver aproximadamente para h em função de k. De fato, isolando h:
h=\frac{k-r(h)}{f'(a)}=\frac{k}{f'(a)}-\frac{r(h)}{f'(a)}.
Agora use que r(h)=o(h) e que k é aproximadamente f'(a)h, então r(h) é também o(k). Assim, ao escrever g(f(a)+k)=a+h obtemos
g(f(a)+k)=a+\frac{k}{f'(a)}+o(k),
quando k\to0. Essa é exatamente a definição de diferenciabilidade de g em b=f(a), com derivada
g'(b)=\frac{1}{f'(a)}.
  • Em palavras: se a linearização de f em a tem inclinação não nula, ela é invertível e a inversa linear dá a derivada de g.

Passo 5

Por que não dá para garantir diferenciabilidade de g sem a hipótese f'(a)\neq0: um contraexemplo clássico.
  • Tome f(x)=x^{3}. Essa função é diferenciável em todo lugar; em particular f'(0)=0.
  • A inversa é g(y)=\sqrt[3]{y}=y^{1/3}.
  • Vamos ver se g é diferenciável em 0. Pela definição,
g'(0)=\lim_{y\to0}\frac{g(y)-g(0)}{y-0}=\lim_{y\to0}\frac{y^{1/3}}{y}=\lim_{y\to0}y^{-2/3}.
  • Esse limite diverge para +\infty quando y\to0^{+} e para -\infty quando y\to0^{-}, logo não existe um número finito; portanto g não é diferenciável em 0.
  • Conclusão do exemplo: f é diferenciável em todo o domínio, mas sua inversa g falha em ser diferenciável no ponto correspondente 0 porque f' ali é zero.

Passo 6

Resumo final e dica prática para a prova.
  • Resposta curta: não, não necessariamente. A diferenciabilidade de f por si só NÃO garante a diferenciabilidade de g em todos os pontos do domínio de g.
  • Condição suficiente: se f é bijetora (localmente invertível) e diferenciável em a com f'(a)\neq0, então g é diferenciável em b=f(a) e vale
g'(b)=\frac{1}{f'(a)}.
  • Na prática de prova: para mostrar que a inversa é diferenciável num ponto, verifique que f'(a)\neq0 (isso normalmente vem com injetividade ou monotonicidade local). Para refutar que a inversa é sempre diferenciável, basta dar o contraexemplo f(x)=x^{3}.

Resposta

Não necessariamente. Se f'(a)\neq0 então g é diferenciável em b=f(a) e g'(b)=1/f'(a). Mas sem a condição f'(a)\neq0 a inversa pode não ser diferenciável (ex.: f(x)=x^{3} é diferenciável com f'(0)=0, e sua inversa g(y)=\sqrt[3]{y} não é diferenciável em 0).

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