Se
e
são funções inversas uma da outra e se
é diferenciável em seu domínio, então
também deve ser diferenciável em seu domínio? Dê um argumento razoável informal para corroborar sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação:
e são funções inversas uma da outra, ou seja, para todo em que as composições façam sentido vale
- Informação:
é diferenciável em seu domínio. - Pergunta: isso implica que
também precise ser diferenciável em seu domínio?
Passo 2
Vamos lembrar o que significam as coisas, de forma bem direta e prática.
- Diferenciabilidade em um ponto
diz que existe a aproximação linear
onde
significa uma quantidade que, dividida por
, tende a zero quando
. Em palavras: perto de
,
se comporta como a reta
mais um erro que é pequeno em relação a
.
- Se
é a inversa de então, para , temos e mais geralmente .
Passo 3
Idéia heurística do porquê a diferencial de
pode (ou não) existir.
- Se a aproximação linear de
em for uma reta com inclinação diferente de zero, essa reta é invertível localmente, então a inversa de deve ter também uma aproximação linear (a inversa da reta), cujo coeficiente é o recíproco da inclinação. Isso sugere que, quando , a inversa é diferenciável em e
- Porém, se
, a aproximação linear de em é horizontal (reta de inclinação zero) e essa reta não é invertível; daí a aproximação linear não fornece uma inversa linear, e pode acontecer que não seja diferenciável em .
Passo 4
Uma justificativa informal (mas razoável) do caso
.
- Escrevendo a aproximação de
em :
com
quando
.
- Defina
. Então
Se
, podemos resolver aproximadamente para
em função de
. De fato, isolando
:
Agora use que
e que
é aproximadamente
, então
é também
. Assim, ao escrever
obtemos
quando
. Essa é exatamente a definição de diferenciabilidade de
em
, com derivada
- Em palavras: se a linearização de
em tem inclinação não nula, ela é invertível e a inversa linear dá a derivada de .
Passo 5
Por que não dá para garantir diferenciabilidade de
sem a hipótese
: um contraexemplo clássico.
- Tome
. Essa função é diferenciável em todo lugar; em particular . - A inversa é
. - Vamos ver se
é diferenciável em . Pela definição,
- Esse limite diverge para
quando e para quando , logo não existe um número finito; portanto não é diferenciável em . - Conclusão do exemplo:
é diferenciável em todo o domínio, mas sua inversa falha em ser diferenciável no ponto correspondente porque ali é zero.
Passo 6
Resumo final e dica prática para a prova.
- Resposta curta: não, não necessariamente. A diferenciabilidade de
por si só NÃO garante a diferenciabilidade de em todos os pontos do domínio de . - Condição suficiente: se
é bijetora (localmente invertível) e diferenciável em com , então é diferenciável em e vale
- Na prática de prova: para mostrar que a inversa é diferenciável num ponto, verifique que
(isso normalmente vem com injetividade ou monotonicidade local). Para refutar que a inversa é sempre diferenciável, basta dar o contraexemplo .
Resposta
Não necessariamente. Se
então
é diferenciável em
e
. Mas sem a condição
a inversa pode não ser diferenciável (ex.:
é diferenciável com
, e sua inversa
não é diferenciável em
).