Em cada parte, encontre \left(f^{-1}\right)^{\prime}(x) usando a Fórmula (2) da Seção 3.3 e verifique seu resultado derivando diretamente f^{-1}.
f(x)=3 /(x+1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f dada:
  • Calcular \left(f^{-1}\right)^{\prime}(x) usando a fórmula \left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\dfrac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)}.
  • Verificar o resultado derivando diretamente f^{-1}.
Informações dadas:
  • f(x)=\dfrac{3}{x+1}.
    Observações úteis que vou usar (não resolvo nada ainda):
  • Vou precisar da derivada f'(x).
  • Vou precisar achar explicitamente f^{-1}(x) (inverter a função).
  • A fórmula da inversa vem da regra da cadeia aplicada a f(f^{-1}(x))=x.

Passo 2

Achar f^{-1}(x) explicitamente. Começo por escrever y=f(x) e resolver para x:
y=\frac{3}{x+1}.
Multiplico ambos os lados por x+1:
y(x+1)=3.
Isolo x:
x+1=\frac{3}{y}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{y}-1.
Agora troco y por x para escrever a inversa:
f^{-1}(x)=\frac{3}{x}-1=\frac{3-x}{x}.
Nota sobre domínios: como f(x)=3/(x+1) não está definida em x=-1, sua imagem (o domínio de f^{-1}) não contém 0 (pois f(x) nunca é 0). Para f^{-1} a expressão \dfrac{3}{x}-1 exige x\neq 0. Vamos manter isso em mente: f^{-1} definida para x\neq 0.

Passo 3

Calcular f'(x) (derivada da função original). É mais fácil reescrever f como
f(x)=3(x+1)^{-1}.
Derivando usando a regra da potência e a constante:
f'(x)=3\cdot(-1)(x+1)^{-2}=-\frac{3}{(x+1)^{2}}.
Comentário didático rápido: para derivar (x+1)^{-1} usamos \dfrac{d}{dx}(x+1)^{n}=n(x+1)^{n-1} com n=-1.

Passo 4

Justificativa da Fórmula (2) (uma mini-aula): a fórmula \left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\dfrac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)} vem de diferenciar a identidade
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x.
Aplicando a regra da cadeia obtemos
f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)\cdot\left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)=1,
daí isolando \left(f^{-1}\right)^{\prime}(x) vem a fórmula. Esta fórmula exige que f seja diferenciável em f^{-1}(x) e que f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)\neq 0. No nosso caso f'(t)=-3/(t+1)^2 é sempre negativo (não nulo) para t\neq -1, então a condição está satisfeita.

Passo 5

Aplicar a fórmula substituindo f^{-1}(x). Primeiro calcule f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr). Usando f'(t)=-\dfrac{3}{(t+1)^2} com t=f^{-1}(x):
f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=-\frac{3}{\bigl(f^{-1}(x)+1\bigr)^{2}}.
Mas de f^{-1}(x)=\dfrac{3}{x}-1 temos
f^{-1}(x)+1=\frac{3}{x}-1+1=\frac{3}{x}.
Portanto
f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=-\frac{3}{\left(\dfrac{3}{x}\right)^{2}}=-3\cdot\frac{x^{2}}{9}=-\frac{x^{2}}{3}.
Agora aplico a fórmula \left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\dfrac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)}:
\left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\frac{1}{-\dfrac{x^{2}}{3}}=-\frac{3}{x^{2}}.
Lembrete de domínio: isso vale para x\neq 0 (domínio de f^{-1}).

Passo 6

Verificação derivando diretamente f^{-1}(x). A forma mais simples para derivar é f^{-1}(x)=\dfrac{3}{x}-1. Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{x}-1\right)=\frac{d}{dx}\!\left(3x^{-1}\right)-0=3\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{3}{x^{2}}.
É exatamente o mesmo resultado que obtivemos pela fórmula. Portanto a verificação está completa.

Resposta

\left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)=-\dfrac{3}{x^{2}} (para x\neq 0).

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