Em cada parte, encontre
usando a Fórmula (2) da Seção 3.3 e verifique seu resultado derivando diretamente
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
dada:
- Calcular
usando a fórmula . - Verificar o resultado derivando diretamente
.
Informações dadas:
-
.
Observações úteis que vou usar (não resolvo nada ainda): - Vou precisar da derivada
. - Vou precisar achar explicitamente
(inverter a função). - A fórmula da inversa vem da regra da cadeia aplicada a
.
Passo 2
Achar
explicitamente. Começo por escrever
e resolver para
:
Multiplico ambos os lados por
:
Isolo
:
Agora troco
por
para escrever a inversa:
Nota sobre domínios: como
não está definida em
, sua imagem (o domínio de
) não contém
(pois
nunca é
). Para
a expressão
exige
. Vamos manter isso em mente:
definida para
.
Passo 3
Calcular
(derivada da função original). É mais fácil reescrever
como
Derivando usando a regra da potência e a constante:
Comentário didático rápido: para derivar
usamos
com
.
Passo 4
Justificativa da Fórmula (2) (uma mini-aula): a fórmula
vem de diferenciar a identidade
Aplicando a regra da cadeia obtemos
daí isolando
vem a fórmula. Esta fórmula exige que
seja diferenciável em
e que
. No nosso caso
é sempre negativo (não nulo) para
, então a condição está satisfeita.
Passo 5
Aplicar a fórmula substituindo
. Primeiro calcule
. Usando
com
:
Mas de
temos
Portanto
Agora aplico a fórmula
:
Lembrete de domínio: isso vale para
(domínio de
).
Passo 6
Verificação derivando diretamente
. A forma mais simples para derivar é
. Derivando termo a termo:
É exatamente o mesmo resultado que obtivemos pela fórmula. Portanto a verificação está completa.