Uma partícula está em movimento ao longo da curva y=x \ln x. Encontre todos os valores de x nos quais a taxa de variação de y em relação ao tempo é três vezes a de x. [Suponha que d x / d t não se anule.]

Passo 1

O enunciado dá a curva y = x \ln x e pede todos os valores de x em que a taxa de variação de y em relação ao tempo é três vezes a taxa de variação de x. Em símbolos, pede os x tais que
\frac{dy}{dt} = 3\frac{dx}{dt}.
Informações e observações úteis fornecidas:
  • A função é y(x)=x\ln x.
  • Deve-se supor que \dfrac{dx}{dt}\neq 0 (ou seja, a velocidade de x não é nula).
  • Importante: \ln x está definido somente para x>0. Portanto só procuramos soluções com x>0.

Passo 2

Relacionando \dfrac{dy}{dt} com \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{dx}{dt} — regra da cadeia.
Se y depende de x que por sua vez depende do tempo t, então pela regra da cadeia vale
\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Aqui:
  • \dfrac{dy}{dt} é a taxa de variação de y em relação a t.
  • \dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x (a variação de y por unidade de x).
  • \dfrac{dx}{dt} é a taxa de variação de x em relação a t.
    Essa fórmula permite traduzir a condição \dfrac{dy}{dt}=3\dfrac{dx}{dt} em uma relação envolvendo \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Aplicar a regra da cadeia à condição do problema.
Substituindo \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt} na condição temos
\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=3\frac{dx}{dt}.
Como o enunciado nos diz que \dfrac{dx}{dt}\neq 0, podemos dividir ambos os lados por \dfrac{dx}{dt} e obter
\frac{dy}{dx}=3.
Ou seja, precisamos achar os x>0 tais que a derivada de y em relação a x seja 3.

Passo 4

Calcular \dfrac{dy}{dx} para y=x\ln x — regra do produto.
A função y é produto de duas funções de x: u(x)=x e v(x)=\ln x. A regra do produto diz que
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui:
  • u'(x)=\dfrac{d}{dx}x=1.
  • v'(x)=\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} (válido para x>0).
    Aplicando a regra do produto:
\frac{dy}{dx} = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.

Passo 5

Resolver a equação \dfrac{dy}{dx}=3.
Substituindo \dfrac{dy}{dx}=\ln x + 1 na condição da Passo 3 obtemos
\ln x + 1 = 3.
Isolando \ln x,
\ln x = 2.
Aplicando exponenciação (função inversa do logaritmo natural),
x = e^{2}.

Passo 6

Verificação e domínio.
Verificar que x=e^{2} está no domínio: e^{2}>0, logo \ln x é bem definido. Também \dfrac{dx}{dt}\neq 0 foi usado para cancelar; a solução encontrada satisfaz a equação original porque para x=e^{2} temos
\frac{dy}{dx}=\ln(e^{2})+1=2+1=3,
portanto \dfrac{dy}{dt}=3\,\dfrac{dx}{dt} como pedido. Não há outras soluções porque a equação \ln x = 2 tem solução única.

Resposta

x=e^{2}

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