Uma partícula está em movimento ao longo da curva
. Encontre todos os valores de
nos quais a taxa de variação de
em relação ao tempo é três vezes a de
. [Suponha que
não se anule.]
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede todos os valores de
em que a taxa de variação de
em relação ao tempo é três vezes a taxa de variação de
. Em símbolos, pede os
tais que
Informações e observações úteis fornecidas:
- A função é
. - Deve-se supor que
(ou seja, a velocidade de não é nula). - Importante:
está definido somente para . Portanto só procuramos soluções com .
Passo 2
Relacionando
com
e
— regra da cadeia.
Se depende de
que por sua vez depende do tempo
, então pela regra da cadeia vale
Se
Aqui:
-
é a taxa de variação de em relação a . -
é a derivada de em relação a (a variação de por unidade de ). -
é a taxa de variação de em relação a .
Essa fórmula permite traduzir a condiçãoem uma relação envolvendo .
Passo 3
Aplicar a regra da cadeia à condição do problema.
Substituindo na condição temos
Substituindo
Como o enunciado nos diz que
, podemos dividir ambos os lados por
e obter
Ou seja, precisamos achar os
tais que a derivada de
em relação a
seja
.
Passo 4
Calcular
para
— regra do produto.
A função é produto de duas funções de
:
e
. A regra do produto diz que
A função
Aqui:
-
. -
(válido para ).
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Resolver a equação
.
Substituindo na condição da Passo 3 obtemos
Substituindo
Isolando
,
Aplicando exponenciação (função inversa do logaritmo natural),
Passo 6
Verificação e domínio.
Verificar que está no domínio:
, logo
é bem definido. Também
foi usado para cancelar; a solução encontrada satisfaz a equação original porque para
temos
Verificar que
portanto
como pedido. Não há outras soluções porque a equação
tem solução única.