Se f e g são funções pares, f+g é par? Se f e g são funções impares, f e g pares, f+g é par? Justifique suas respostas.

Passo 1

Resumo do enunciado e definições
O problema faz duas perguntas envolvendo a soma de funções pares e de funções ímpares, e quer saber se essa soma é uma função par. Vamos usar as definições:
– Uma função h é par se, para todo x em seu domínio,
h(-x)=h(x).
– Uma função h é ímpar se, para todo x em seu domínio,
h(-x)=-\,h(x).

Passo 2

Soma de duas funções pares
Suponha que f e g sejam pares. Então, para todo x,
f(-x)=f(x) \quad\text{e}\quad g(-x)=g(x).
Analisamos (f+g)(-x):
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x).
Logo (f+g)(-x)=(f+g)(x) para todo x, isto é, f+g é par.

Passo 3

Soma de duas funções ímpares
Agora suponha que f e g sejam ímpares. Então
f(-x)=-\,f(x) \quad\text{e}\quad g(-x)=-\,g(x).
Calculamos (f+g)(-x):
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-\,f(x)\;-\;g(x)=-\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=-\,(f+g)(x).
Isto mostra que f+g satisfaz a condição de ímpar, não de par. Portanto, em geral, a soma de duas funções ímpares é uma função ímpar e não é par (salvo o caso degenerate em que f+g\equiv0).

Resposta

Sim. Se f e g são pares, então f+g é par.
Não. Se f e g são ímpares, então f+g é ímpar, logo não é par (exceto trivialmente quando f+g\equiv0).

Exercícios relacionados