Se
e
são funções pares,
é par? Se
e
são funções impares,
e
pares,
é par? Justifique suas respostas.
Passo 1
Resumo do enunciado e definições
O problema faz duas perguntas envolvendo a soma de funções pares e de funções ímpares, e quer saber se essa soma é uma função par. Vamos usar as definições:
– Uma função é par se, para todo
em seu domínio,
O problema faz duas perguntas envolvendo a soma de funções pares e de funções ímpares, e quer saber se essa soma é uma função par. Vamos usar as definições:
– Uma função
– Uma função
é ímpar se, para todo
em seu domínio,
Passo 2
Soma de duas funções pares
Suponha que e
sejam pares. Então, para todo
,
Suponha que
Analisamos
:
Logo
para todo
, isto é,
é par.
Passo 3
Soma de duas funções ímpares
Agora suponha que e
sejam ímpares. Então
Agora suponha que
Calculamos
:
Isto mostra que
satisfaz a condição de ímpar, não de par. Portanto, em geral, a soma de duas funções ímpares é uma função ímpar e não é par (salvo o caso degenerate em que
).
Resposta
Sim. Se
e
são pares, então
é par.
Não. Se e
são ímpares, então
é ímpar, logo não é par (exceto trivialmente quando
).
Não. Se