Se
e
são invertíveis então:
é invertível?
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas duas aplicações (ou operadores lineares, ou matrizes)
e
que são invertíveis, a aplicação soma
também é necessariamente invertível. O conteúdo aqui é compreensão de invertibilidade e contraposições via exemplos.
Passo 2
Relembrando o conceito: uma aplicação
é invertível se existe uma aplicação
tal que
Para a soma
ser invertível, precisaríamos encontrar uma inversa
que satisfaça o mesmo, o que em geral é muito mais restrito do que a invertibilidade isolada de
e de
.
Passo 3
Mostramos que nem sempre
é invertível através de um contraexemplo simples no caso de funções de
em
. Definimos
Cada uma é claramente bijetora (logo invertível), pois
Porém
que é a função constante zero. Essa função não é injetiva (tudo mapeia em
) e, portanto, não é invertível.
Resposta
Não. Mesmo que
e
sejam invertíveis,
pode deixar de ser invertível (por exemplo,
e
levam a
, que não é invertível).