f(omega)=|omega-3|9, forall omega in Omega
que é aditiva para a união de conjuntos disjuntos, é uma probabilidade na sigmaálgebra das partes de Omega. Se considerarmos esse espaço de probabilidade como modelo para o lançamento de um dado, podemos afirmar que tanto faz apostar nos ímpares ou nos pares?

Passo 1

Beleza, aí vai um resumão do que a questão tá pedindo e o que a gente vai usar.
Enunciado: Temos um espaço amostral Ω = {1,2,3,4,5,6} (tipo um dado) e uma “probabilidade” dada por
f(omega)=|omega-3|9, omegain1,dots,6
Pergunta: será que apostar em ímpares ou em pares dá na mesma?
Conteúdo: probabilidade discreta, soma de probabilidades em conjuntos disjuntos (propriedade aditiva).
O que vamos precisar:
  • Calcular cada pelo valor absoluto.
  • Somar essas probabilidades em dois grupos: ímpares e pares.
  • Comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro a gente confirma que é de fato uma medida de probabilidade:
  1. Para todo , porque .
  2. A soma total dá 1 (veremos isso), o que garante que é normalizada.
  3. Como os eventos “ ” são disjuntos, a probabilidade de uma coleção deles é só a soma dos .

Passo 3

Vamos calcular individualmente cada 2/9 + 1/9 + 0 + 1/9 + 2/9 + 3/9 = 9/9 = 1, :
Se você somar tudo:
show que é mesmo uma probabilidade válida.

Passo 4

Agora o lance dos pares vs ímpares:
  • Conjunto dos ímpares P(I)=f(1)+f(3)+f(5)=29+0+29=49 . Como são disjuntos,
P(P)=f(2)+f(4)+f(6)=19+19+39=59
  • Conjunto dos pares . Então

Passo 5

É só comparar:
P(I)=49approx0,444, P(P)=59approx0,556
Como , não dá na mesma.

Resposta

Não, não dá na mesma apostar em ímpares ou em pares:
P(ímpares)=4/9 enquanto P(pares)=5/9, logo vale mais a pena apostar nos pares.

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