(f) ( 8 pontos) Qual é o simétrico de um elemento genérico do R^2 na operação De ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pergunta qual é o simétrico de um elemento genérico de R^2 na operação De. Aqui, estamos lidando com conceitos de álgebra linear e estruturas algébricas, especificamente com a ideia de simétrico em um conjunto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o simétrico de um elemento e como aplicar essa operação em R^2.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é um simétrico de um elemento em uma operação binária. Em álgebra, o simétrico de um elemento a em um conjunto com uma operação De é outro elemento b tal que quando aplicamos a operação De entre a e b, obtemos o elemento neutro da operação.
Matematicamente, isso é expresso como:
a De
onde e é o elemento neutro.

Passo 3

No contexto do espaço vetorial R^2, geralmente consideramos a operação De como a adição vetorial. O elemento neutro nessa operação é o vetor zero, que é (0, 0).
Então, queremos encontrar o simétrico de um vetor genérico (x, y) tal que:
(x, y) + (a, b) = (0, 0)

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar (a, b):
(x + a, y + b) = (0, 0)
Isso significa que:
x + a = 0 e y + b = 0
Resolvendo para a e b, temos:
a = -x e b = -y

Passo 5

Portanto, o simétrico do vetor (x, y) em relação à operação de adição vetorial em R^2 é o vetor (-x, -y).

Resposta

O simétrico de um elemento genérico (x, y) em R^2 na operação De é (-x, -y).

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