Calcule e justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, mais especificamente lidando com limites que resultam em formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar entender como fatorar polinômios e simplificar expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Esse resultado é uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Quando temos uma forma indeterminada, uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Vamos começar fatorando
e
.
O polinômio
é uma soma de cubos, e a fórmula para fatorar uma soma de cubos é:
Aplicando isso com
e
:
Já o denominador
é uma diferença de quadrados, que fatoramos assim:
Com
e
:
Passo 4
Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
Perceba que temos o fator
tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse fator (desde que
, o que não é um problema para o limite):
Passo 5
Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo
: