Calcule e justifique.
lim x -1 x^3+1x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x -1 x^3+1x^2-1. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, mais especificamente lidando com limites que resultam em formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar entender como fatorar polinômios e simplificar expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = -1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
(-1)^3 + 1(-1)^2 - 1 = -1 + 11 - 1 = 00
Esse resultado é uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando temos uma forma indeterminada, uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Vamos começar fatorando x^3 + 1 e x^2 - 1.
O polinômio x^3 + 1 é uma soma de cubos, e a fórmula para fatorar uma soma de cubos é:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Aplicando isso com a = x e b = 1:
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
Já o denominador x^2 - 1 é uma diferença de quadrados, que fatoramos assim:
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
Com a = x e b = 1:
x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
x^3 + 1x^2 - 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)(x + 1)(x - 1)
Perceba que temos o fator (x + 1) tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse fator (desde que x neq -1, o que não é um problema para o limite):
(x + 1)(x^2 - x + 1)(x + 1)(x - 1) = x^2 - x + 1x - 1

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo x = -1:
lim x -1 x^2 - x + 1x - 1 = (-1)^2 - (-1) + 1-1 - 1 = 1 + 1 + 1-2 = 3-2

Resposta

lim x -1 x^3+1x^2-1 = -32

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