- Seja
uma função derivável e suponha que exista uma constante
tal que
. Derive o quociente
e deduza que existe uma constante
tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função derivável
satisfazendo
para todo
, onde
é constante. O objetivo é usar a regra do quociente para calcular a derivada de
e mostrar que esse quociente é constante. A partir daí, concluir que existe uma constante
tal que
.
Passo 2
Aplicamos a regra do quociente para
.
Temos
Temos
Como
, substituímos e obtemos
Passo 3
Pela hipótese
, o numerador vira zero:
Logo
para todo
. Isso significa que
é constante. Chamemos essa constante de
.
Passo 4
Como
, multiplicando por
vem
Resposta
Existe uma constante
tal que