which represents the positive portions of a sine function. (Such a function represents, for example, the output of a half-wave rectifying circuit.) Find the Fourier representation and plot the sum of the first four terms.
Passo 1
Beleza, mano! O enunciado diz que temos uma função periódica de período
definida como
Isso simula a parte positiva de um seno (meia-retificação).
Conteúdo: vamos fazer Série de Fourier de período .
O que precisamos:
Conteúdo: vamos fazer Série de Fourier de período
O que precisamos:
- Entender a forma padrão de uma série de Fourier,
- Calcular os coeficientes
, e pelo método de integração, - Montar a soma dos primeiros quatro termos e desenhar (ou pensar) no gráfico.
Passo 2
Primeiro, lembrando a forma geral de uma série de Fourier para f(t) com período
:
Os coeficientes são
Como nossa função vale zero em
, todas as integrais só rolam de
até
.
Passo 3
Vamos calcular
rapidinho:
Então
.
Agora
:
Usando identidade de produto e avaliando, dá zero para todo
(as senoides fecham ciclos inteiros).
Logo .
Logo
Passo 4
Sobram só os
. Sem pular etapas, a conta dá (deu um pouco de álgebra com identidades seno-cosseno)
Repara que se
for ímpar,
, então só aparecem termos de
par.
Logo a série fica
Logo a série fica
Passo 5
Para pegar os quatro primeiros termos não-nulos, tomo
, mas
já é o
.
Fica o parcial de ordem 3 em (4 termos totais):
Fica o parcial de ordem 3 em
Isso simplifica para
Você pode plotar esse somatório em
(por exemplo num Python/Matlab) e vai ver que já lembra bem o “meio-seno” retificado.
Resposta
A série de Fourier é
e a soma dos quatro primeiros termos (incluindo o termo constante) é