F(t)= sin omega t, & 0
which represents the positive portions of a sine function. (Such a function represents, for example, the output of a half-wave rectifying circuit.) Find the Fourier representation and plot the sum of the first four terms.

Passo 1

Beleza, mano! O enunciado diz que temos uma função periódica de período
T = 2piomega
definida como
F(t)= sin(omega t),&0
Isso simula a parte positiva de um seno (meia-retificação).
Conteúdo: vamos fazer Série de Fourier de período .
O que precisamos:
  • Entender a forma padrão de uma série de Fourier,
  • Calcular os coeficientes , e pelo método de integração,
  • Montar a soma dos primeiros quatro termos e desenhar (ou pensar) no gráfico.

Passo 2

Primeiro, lembrando a forma geral de uma série de Fourier para f(t) com período f(t)=a02+sumn=1^inftyl[ancos(nomega0t)+bnsin(nomega0t)r], omega0=2piT=omega :
an=2Tintegral0^T f(t)cos(nomega0t),dt, bn=2Tintegral0^T f(t)sin(nomega0t),dt, a0=2Tintegral0^T f(t),dt
Os coeficientes são
Como nossa função vale zero em , todas as integrais só rolam de até .

Passo 3

Vamos calcular a0=2Tintegral0^pi/omegasin(omega t),dt =omegapil[-tfrac1omegacos(omega t)r]0^pi/omega =1pil(1-cospir) =2pi rapidinho:
bnproptointegral0^pi/omegasin(omega t)sin(nomega t),dt
Então .
Agora :
Usando identidade de produto e avaliando, dá zero para todo (as senoides fecham ciclos inteiros).
Logo .

Passo 4

Sobram só os an =1+(-1)^npi,(1-n^2) . Sem pular etapas, a conta dá (deu um pouco de álgebra com identidades seno-cosseno)
F(t) =1pi +sumk=1^infty2pil(1-(2k)^2r)cosl(2k,omega tr)
Repara que se for ímpar, , então só aparecem termos de par.
Logo a série fica

Passo 5

Para pegar os quatro primeiros termos não-nulos, tomo S4(t) =1pi +2pi,(1-4)cos(2omega t) +2pi,(1-16)cos(4omega t) +2pi,(1-36)cos(6omega t) , mas S4(t) =1pi -23picos(2omega t) -215picos(4omega t) -235picos(6omega t) já é o .
Fica o parcial de ordem 3 em (4 termos totais):
Isso simplifica para
Você pode plotar esse somatório em (por exemplo num Python/Matlab) e vai ver que já lembra bem o “meio-seno” retificado.

Resposta

A série de Fourier é
F(t) =1pi +sumk=1^infty2pil(1-(2k)^2r)cosl(2k,omega tr),
e a soma dos quatro primeiros termos (incluindo o termo constante) é
S4(t) =1pi -23picos(2omega t) -215picos(4omega t) -235picos(6omega t)

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