(f) 3 x-22-x <= 23

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional 3x-22-x <= 23. O assunto é inequações racionais, e vamos precisar lembrar de determinar o domínio (onde o denominador não zera) e usar um estudo de sinais.

Passo 2

Determinar o domínio da expressão original requer que 2-xneq0, ou seja xneq2.

Passo 3

Colocar tudo em um só lado e subtrair tfrac23:
3x-22-x-23 <= 0

Passo 4

Fazer o mínimo múltiplo comum dos denominadores e simplificar:
3,(3x-2)-2,(2-x)3,(2-x) = 9x-6-4+2x3(2-x) = 11x-103(2-x)

Passo 5

Como o 3 no denominador é positivo, podemos ignorá-lo no estudo de sinais. A inequação vira
11x-102-x <= 0

Passo 6

Identificar os pontos críticos:
  • Numerador zero em 11x-10=0 x=10/11.
  • Denominador zero em 2-x=0 x=2 (fora do domínio).

Passo 7

Fazer o quadro de sinais em cada intervalo determinado por 10/11 e 2:
  • Em ( -infty,10/11): numerador negativo, denominador positivo ⇒ fração negativa ⇒ <=0 vale.
  • Em 10/11: fração é zero ⇒ vale (igualdade permitida).
  • Em (10/11,2): numerador positivo, denominador positivo ⇒ fração positiva ⇒ não vale.
  • Em (2,infty): numerador positivo, denominador negativo ⇒ fração negativa ⇒ <=0 vale.

Passo 8

Concluindo, juntamos os intervalos que satisfazem a inequação, lembrando que xneq2:
.

Resposta

x\in(-\infty,,10/11]\cup(2,\infty)

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