(a) 3 x-1x+2 >= 5

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver a inequação racional \ 3x-1x+2 >= 5 O assunto aqui é inequação de função racional e vamos usar manipulações algébricas e estudo de sinal de fração.

Passo 2

Primeira ação: passar tudo para o lado esquerdo numa única fração. Começamos com \ 3x-1x+2 - 5 >= 0 Em seguida, colocamos sobre mesmo denominador: \ 3x-1 - 5(x+2)x+2 >= 0 Simplificando o numerador: \ 3x - 1 - 5x - 10 = -2x - 11 Então a inequação vira \ -2x - 11x+2 >= 0

Passo 3

Determinar os pontos críticos: zeros do numerador e valores que anulam o denominador (domínio).\ Numerador zero em \ -2x - 11 = 0 implies x = -tfrac112x + 2 = 0 \implies x = -2$$ Note que em x = -2 a expressão não existe.

Passo 4

Fazer o estudo de sinal em três intervalos definidos pelos pontos críticos:
  1. x < -11/2: numerador + (pois x menor que -5.5 faz -2x -11 > 0), denominador !!! - ⇒ fração negativa;
  2. -11/2 < x < -2: numerador -, denominador - ⇒ fração positiva;
  3. x > -2: numerador -, denominador + ⇒ fração negativa.

Passo 5

Condições para satisfazer >=0: mantemos onde a fração é positiva ou zero. A fração é zero em x = -11/2 e positiva em intervalo ( -11/2 , -2 ). Em x = -2 não vale (indefinido).

Resposta

boxedx in [-tfrac112,,-2)

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