Se f(x)=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}, para todo x \neq 0, prove que f(x)=f\left(\frac{1}{x}\right) para todo x \neq 0.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}},
e pede para provar que
f(x)=f\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)
para todo x\neq0.

Passo 2

Para verificar a igualdade, basta calcular f\bigl(\tfrac1x\bigr) e mostrar que coincide com f(x):
f\Bigl(\tfrac1x\Bigr) =\Bigl(\tfrac1x\Bigr)^{2}+2+\frac{1}{\bigl(\tfrac1x\bigr)^{2}} =\frac{1}{x^{2}}+2+x^{2} =x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}} =f(x).

Resposta

Portanto, f(x)=f\bigl(\tfrac1x\bigr) para todo x\neq0.

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