F(x)=3x² +12x+5 Qual é o valor do discriminante de f? Quantas raízes reais diferentes f(x) tem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função quadrática $ f(x) = 3x^2 + 12x + 5 $. O que a gente precisa descobrir aqui são duas coisas: primeiro, o valor do discriminante dessa função, e segundo, quantas raízes reais e diferentes essa função tem. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra envolvendo equações de segundo grau e o discriminante, que nos ajuda a entender a natureza das raízes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o discriminante. Em uma equação do segundo grau da forma $ ax^2 + bx + c = 0 $, o discriminante é dado por:
ax^2 + bx + c = 0
Esse valor nos diz muito sobre as raízes da equação.

Passo 3

Vamos identificar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ na nossa função $ f(x) = 3x^2 + 12x + 5 $:
  • $ a = 3 $
  • $ b = 12 $
  • $ c = 5 $

Passo 4

Agora, vamos calcular o discriminante usando a fórmula:
De
Vamos calcular cada parte:
12^2 = 144
4 times 3 times 5 = 60
Então,
De

Passo 5

Com o valor do discriminante em mãos ($ \Delta = 84 $), vamos interpretar o que isso significa para as raízes da função. As regras são:
  • Se $ \Delta > 0 $, há duas raízes reais e diferentes.
  • Se $ \Delta = 0 $, há uma raiz real dupla.
  • Se $ \Delta < 0 $, não há raízes reais (as raízes são complexas).
Como $ 84 > 0 $, isso nos diz que a função $ f(x) $ tem duas raízes reais e diferentes.

Resposta

O valor do discriminante é $ \Delta = 84 $ e a função $ f(x) $ tem duas raízes reais e diferentes.

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