Assinale a alternativa que contenha os pares de coordenadas polares que representem o mesmo ponto:
a. A(3,0) e B(-3,0).
b. A(2,2π/3) e B(2,7π/30).
c. A(2,7π/3) e B(2,π/3).
d. A(3,2π) e B(-3,0).
e. A(-3,π) e B(-3,2π).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que identificar qual das alternativas apresenta pares de coordenadas polares que apontam para o mesmo lugar no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como as coordenadas polares funcionam e como podemos comparar diferentes pares para ver se representam o mesmo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que coordenadas polares são dadas por (r, θ), onde r é a distância do ponto até a origem e θ é o ângulo em relação ao eixo positivo dos x. Um ponto pode ter múltiplas representações dependendo de como ajustamos r e θ. Por exemplo, (r, θ) é o mesmo que (r, θ + 2π) porque adicionar ao ângulo dá uma volta completa, chegando ao mesmo ponto. Além disso, (−r, θ) é o mesmo que (r, θ + π) porque mudar o sinal de r inverte a direção do ponto.

Passo 3

Vamos analisar cada alternativa:
a. A(3,0) e B(-3,0)
  • B(-3,0) pode ser reescrito como (3,0 + π) = (3, π).
  • A(3,0) é diferente de (3, π).
  • Não são o mesmo ponto.
b. A(2,2π/3) e B(2,7π/30)
  • Vamos calcular os ângulos:
    • 2π/3 ≈ 2.094 rad
    • 7π/30 ≈ 0.733 rad
  • A diferença entre os ângulos não é múltiplo de .
  • Não são o mesmo ponto.
c. A(2,7π/3) e B(2,π/3)
  • Primeiro, vamos ajustar o ângulo de A:
    • 7π/3 - = 7π/3 - 6π/3 = π/3
  • Então, A(2,7π/3) se torna (2, π/3).
  • B já é (2, π/3).
  • São o mesmo ponto.
d. A(3,2π) e B(-3,0)
  • A(3,2π) é igual a (3,0) porque é uma volta completa.
  • B(-3,0) é igual a (3, π).
  • Não são o mesmo ponto.
e. A(-3,π) e B(-3,2π)
  • A(-3,π) pode ser reescrito como (3,π + π) = (3, 2π).
  • B(-3,2π) pode ser reescrito como (3,2π + π) = (3,3π).
  • Como é igual a π (3π - 2π = π), então B(-3,2π) = (3, π).
  • A ficou como (3, 2π), que é (3,0).
  • Não são o mesmo ponto.

Resposta

A alternativa c. A(2,7π/3) e B(2,π/3) representa o mesmo ponto.

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