Assinale a alternativa que contenha os pares de coordenadas polares que representem o mesmo ponto:
a. A(3,0) e B(-3,0).
b. A(2,2π/3) e B(2,7π/30).
c. A(2,7π/3) e B(2,π/3).
d. A(3,2π) e B(-3,0).
e. A(-3,π) e B(-3,2π).
a. A(3,0) e B(-3,0).
b. A(2,2π/3) e B(2,7π/30).
c. A(2,7π/3) e B(2,π/3).
d. A(3,2π) e B(-3,0).
e. A(-3,π) e B(-3,2π).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que identificar qual das alternativas apresenta pares de coordenadas polares que apontam para o mesmo lugar no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como as coordenadas polares funcionam e como podemos comparar diferentes pares para ver se representam o mesmo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que coordenadas polares são dadas por
(r, θ)
, onde r
é a distância do ponto até a origem e θ
é o ângulo em relação ao eixo positivo dos x
. Um ponto pode ter múltiplas representações dependendo de como ajustamos r
e θ
. Por exemplo, (r, θ)
é o mesmo que (r, θ + 2π)
porque adicionar 2π
ao ângulo dá uma volta completa, chegando ao mesmo ponto. Além disso, (−r, θ)
é o mesmo que (r, θ + π)
porque mudar o sinal de r
inverte a direção do ponto.Passo 3
Vamos analisar cada alternativa:
a. A(3,0) e B(-3,0)
- B(-3,0) pode ser reescrito como (3,0 + π) = (3, π).
- A(3,0) é diferente de (3, π).
- Não são o mesmo ponto.
b. A(2,2π/3) e B(2,7π/30)
- Vamos calcular os ângulos:
2π/3
≈ 2.094 rad7π/30
≈ 0.733 rad
- A diferença entre os ângulos não é múltiplo de
2π
. - Não são o mesmo ponto.
c. A(2,7π/3) e B(2,π/3)
- Primeiro, vamos ajustar o ângulo de A:
7π/3
-2π
=7π/3
-6π/3
=π/3
- Então, A(2,7π/3) se torna (2, π/3).
- B já é (2, π/3).
- São o mesmo ponto.
d. A(3,2π) e B(-3,0)
- A(3,2π) é igual a (3,0) porque
2π
é uma volta completa. - B(-3,0) é igual a (3, π).
- Não são o mesmo ponto.
e. A(-3,π) e B(-3,2π)
- A(-3,π) pode ser reescrito como (3,π + π) = (3, 2π).
- B(-3,2π) pode ser reescrito como (3,2π + π) = (3,3π).
- Como
3π
é igual aπ
(3π - 2π = π
), então B(-3,2π) = (3, π). - A ficou como (3, 2π), que é (3,0).
- Não são o mesmo ponto.
Resposta
A alternativa c. A(2,7π/3) e B(2,π/3) representa o mesmo ponto.